Основные аспекты устойчивости региональных социально-экономических систем. Обобщение определений устойчивости социальноэкономической системы Приблизительный поиск слова

Чтобы сузить результаты поисковой выдачи, можно уточнить запрос, указав поля, по которым производить поиск. Список полей представлен выше. Например:

Можно искать по нескольким полям одновременно:

Логически операторы

По умолчанию используется оператор AND .
Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе:

исследование разработка

Оператор OR означает, что документ должен соответствовать одному из значений в группе:

исследование OR разработка

Оператор NOT исключает документы, содержащие данный элемент:

исследование NOT разработка

Тип поиска

При написании запроса можно указывать способ, по которому фраза будет искаться. Поддерживается четыре метода: поиск с учетом морфологии, без морфологии, поиск префикса, поиск фразы.
По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии.
Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак "доллар":

$ исследование $ развития

Для поиска префикса нужно поставить звездочку после запроса:

исследование*

Для поиска фразы нужно заключить запрос в двойные кавычки:

" исследование и разработка"

Поиск по синонимам

Для включения в результаты поиска синонимов слова нужно поставить решётку "# " перед словом или перед выражением в скобках.
В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов.
В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден.
Не сочетается с поиском без морфологии, поиском по префиксу или поиском по фразе.

# исследование

Группировка

Для того, чтобы сгруппировать поисковые фразы нужно использовать скобки. Это позволяет управлять булевой логикой запроса.
Например, нужно составить запрос: найти документы у которых автор Иванов или Петров, и заглавие содержит слова исследование или разработка:

Приблизительный поиск слова

Для приблизительного поиска нужно поставить тильду "~ " в конце слова из фразы. Например:

бром~

При поиске будут найдены такие слова, как "бром", "ром", "пром" и т.д.
Можно дополнительно указать максимальное количество возможных правок: 0, 1 или 2. Например:

бром~1

По умолчанию допускается 2 правки.

Критерий близости

Для поиска по критерию близости, нужно поставить тильду "~ " в конце фразы. Например, для того, чтобы найти документы со словами исследование и разработка в пределах 2 слов, используйте следующий запрос:

" исследование разработка"~2

Релевантность выражений

Для изменения релевантности отдельных выражений в поиске используйте знак "^ " в конце выражения, после чего укажите уровень релевантности этого выражения по отношению к остальным.
Чем выше уровень, тем более релевантно данное выражение.
Например, в данном выражении слово "исследование" в четыре раза релевантнее слова "разработка":

исследование^4 разработка

По умолчанию, уровень равен 1. Допустимые значения - положительное вещественное число.

Поиск в интервале

Для указания интервала, в котором должно находиться значение какого-то поля, следует указать в скобках граничные значения, разделенные оператором TO .
Будет произведена лексикографическая сортировка.

Такой запрос вернёт результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, но Иванов и Петров не будут включены в результат.
Для того, чтобы включить значение в интервал, используйте квадратные скобки. Для исключения значения используйте фигурные скобки.

Глава 10. Проблемы устойчивости эконометрических процедур

10.1. Общая схема устойчивости

Проблемам познания, в том числе в социально-экономической области, посвящено огромное количество работ. Однако это не значит, что обо всем в этой области уже все сказано. А о некоторых положениях целесообразно говорить еще и еще раз, пока они ни станут общеизвестными.

В настоящей книге предлагаются, изучаются и обсуждаются эконометрические модели социально-экономических явлений и процессов, а также рассматриваются общие требования, которые естественно предъявлять к подобным моделям. В идеале каждую такую модель следовало бы рассматривать как аксиоматическую теорию. В этом идеальном случае создание и использование модели происходит в соответствии с известной триадой "практика - теория - практика". А именно, сначала вводятся некоторые математические объекты, соответствующие интересующим исследователя реальным объектам, и на основе представлений о свойствах реальных объектов формулируются необходимые для успешного моделирования свойства математических объектов, которые и принимаются в качестве аксиом. Затем аксиоматическая теория развивается как часть математики, вне связи с представлениями о реальных объектах. На заключительном этапе полученные в математической теории результаты интерпретируются содержательно. Получаются утверждения о реальных объектах, являющиеся следствиями тех и только тех их свойств, которые ранее были аксиоматизированы.

Рассматриваемые в настоящей книге эконометрические модели также выражены на математическом языке, исследование их ведется средствами математики без привлечения содержательных социально-экономических соображений, а выводы интерпретируются на языке соответствующей предметной области, т.е. содержательно.

После построения математической модели реального явления или процесса встает вопрос о ее адекватности. Иногда ответ на этот вопрос может дать эксперимент. Рассогласование модельных и экспериментальных данных следует интерпретировать как признак неадекватности некоторых из принятых аксиом. Однако для проверки адекватности социально-экономических моделей зачастую невозможно поставить решающий эксперимент в отличие, скажем, от физических моделей. С другой стороны, для одного и того же социально-экономического явления или процесса, как правило, можно составить много возможных моделей, если угодно, много разновидностей одной базовой модели. Поэтому необходимы какие-то дополнительные условия, которые позволяли бы их множества возможных моделей и эконометрических методов анализа данных выбрать наиболее подходящие. В настоящей главе в качестве одного из подобных условий выдвигается требование устойчивости модели и метода анализа данных относительно допустимых отклонений исходных данных и предпосылок модели или условий применимости метода.

Отметим, что в большинстве случаев исследователей и практических работников интересуют не столько сами модели и методы, сколько решения, которые с их помощью принимаются. Ведь модели и методы для того и разрабатываются, чтобы подготавливать решения. Вместе с тем очевидно, что решения, как правило, принимаются в условиях неполноты информации. Так, любые числовые параметры известны лишь с некоторой точностью. Введение в рассмотрение возможных неопределенностей исходных данных требует каких-то заключений относительно устойчивости принимаемых решений по отношению к этим допустимым неопределенностям.

Введем основные понятия согласно монографии .. Будем считать, что имеются исходные данные, на основе которых принимаются решения. Способ переработки (отображения) исходных данных в решение назовем моделью. Таким образом, с общей точки зрения модель - это функция, переводящая исходные данные в решение, т.е. способ перехода значения не имеет. Очевидно, любая рекомендуемая для практического использования модель должна быть исследована на устойчивость относительно допустимых отклонений исходных данных. Укажем некоторые возможные применения результатов подобного исследования:

Заказчик научно-исследовательской работы получает представление о точности предлагаемого решения;

Удается выбрать из многих моделей наиболее адекватную;

По известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров;

Переход к случаю "общего положения" позволяет получать более сильные с математической точки зрения результаты.

Примеры. По каждому из четырех перечисленных возможных применений в настоящей книге уже приведены различные примеры. В эконометрике точность предлагаемого решения связана с разбросом исходных данных и с объемом выборки, и способы оценки точности решения для различных задач расписаны выше. Выбору наиболее адекватной модели посвящены многие рассмотрения в главах 4 и 5, связанные с обсуждением моделей однородности и регрессии. Рациональный объем выборки в статистике интервальных данных (глава 9) исходит из принципа уравнивания погрешностей, основанного на том, что по известной точности определения отдельных параметров модели удается указать необходимую точность нахождения остальных параметров. Другим примером применения той же концепции является нахождение необходимой точности оценивания параметров в моделях логистики, рассмотренных в главе 5 монографии . Наконец, переходом к случаю "общего положения" в эконометрике является, в частности, переход к непараметрической статистике, необходимый из-за невозможности обосновать принадлежность результатов наблюдений к тем или иным параметрическим семействам.

Специалисты по моделированию и теории управления считают устойчивость одной из важных характеристик социально-экономических моделей. Достаточно глубокие исследования ведутся по ряду направлений.

Первоначальное изучение влияния малого изменения одного параметра обычно называют анализом чувствительности . Оно обычно описывается значением частной производной. Если модель задается дифференцируемой функцией, то итог анализа чувствительности - вектор значений частных производных в анализируемой точке.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений развивается по крайней мере с XIX в. Выработаны соответствующие понятия - устойчивость по Ляпунову, корректность, доказаны глубокие теоремы. Для решения некорректных задач академиком АН СССР А.Н. Тихоновым в начале 1960-х годов был предложен метод регуляризации. Модели социально-экономических явлений и процессов, выражаемые с помощью дифференциальных уравнений, могут быть исследованы на устойчивость путем применения хорошо разработанного математического аппарата.

Вопросы устойчивости изучались практически во всех направлениях экономико-математических методов - и в математическом программировании, и в теории массового обслуживания (теории очередей), и в эколого-экономических моделях, и в различных областях эконометрики.

Прежде чем переходить к конкретным постановкам, обсудим "общую схему устойчивости", дающую понятийную базу для обсуждения проблем устойчивости в различных предметных областях.

Определение 1. Общей схемой устойчивости называется объект

Здесь - множество, называемое (и интерпретируемое) пространством исходных данных; - множество, называемое пространством решений. Однозначное отображение называется моделью. Об этих трех составляющих общей схемы устойчивости уже шла речь выше.

Оставшиеся два понятия нужны для уточнения понятий близости в пространстве исходных данных и пространстве решений. Подобные уточнения могут быть сделаны разными способами. Самое "слабое" уточнение - на языке топологических пространств. Тогда возможны качественные выводы (сходится - не сходится), но не количественные расчеты. Самое "сильное" уточнение - на языке метрических пространств. Промежуточный вариант - используются показатели различия (отличаются от метрик тем, что не обязательно выполняются неравенства треугольника) или вводимые ниже понятия.

Пусть d -показатель устойчивости, т.е. неотрицательная функция, определенная на подмножествах У множества и такая, что из вытекает Часто показатель устойчивости d (Y ) определяется с помощью метрики, псевдометрики или показателя различия (меры близости) как диаметр множества У, т.е.

Таким образом, говоря попросту, в пространстве решений с помощью показателя устойчивости вокруг образа исходных данных может быть сформирована система окрестностей. Но сначала надо такую систему сформировать в пространстве исходных данных.

Пусть - совокупность допустимых отклонений, т.е. система подмножеств множества такая, что каждому элементу множества исходных данных и каждому значению параметра из некоторого множества параметров соответствует подмножество множества исходных данных, называемое множеством допустимых отклонений в точке х при значении параметра, равном . Наглядно можно представить себе, что вокруг точки х взята окрестность радиуса .

Определение 2. Показателем устойчивости в точке х при значении параметра, равном , называется число

Другими словами, это - диаметр образа множества допустимых колебаний при рассматриваемом в качестве модели отображении. Очевидно, что этот показатель устойчивости зависит как от исходных данных, так и от диаметра множества возможных отклонений в исходном пространстве. Для непрерывных функций показатель устойчивости обычно называется модулем непрерывности.

Естественно посмотреть, насколько сузится образ окрестности возможных отклонений при максимально возможном сужении этой окрестности.

Определение 3. Абсолютным показателем устойчивости в точке х называется число

Если функция f непрерывна, а окрестности - именно те, о которых идет речь в математическом анализе, то максимальное сужение означает сужение к точке и абсолютный показатель устойчивости равен 0. Но в главах 3 и 9 мы сталкивались с совсем иными ситуациями. В главе 3 окрестностью исходных данных были все те вектора, что получались из исходного путем преобразования координат с помощью допустимого преобразования шкалы, а допустимое преобразование шкалы бралось из соответствующей группы допустимых преобразований. В главе 9 под окрестностью исходных данных естественно было понимать - при описании выборки - куб с ребрами и центром в исходном векторе. И в том, и в другом случае максимальное сужение не означает сужение к точке.

Естественным является желание ввести характеристики устойчивости на всем пространстве. Не вдаваясь в математические тонкости (см. о них монографию ), рассмотрим меру на пространстве такую, что мера всего пространства равна 1 (т.е.

Определение 4 . Абсолютным показателем устойчивости на пространстве исходных данных по мере называется число

Здесь имеется в виду так называемый интеграл Лебега. Интегрирование проводится по (абстрактному) пространству исходных данных по мере . Естественно, должны быть выполнены некоторые внутриматематические условия, думать о которых эконометрику ни к чему. Читателю, незнакомому с интегрированием по Лебегу, достаточно мысленно заменить в предыдущей формуле интеграл на сумму (а пространство считать конечным, хотя и состоящим из большого числа элементов).

Определение 5 . Максимальным абсолютным показателем устойчивости называется

Легко видеть, что где супремум берется по всем описанным выше мерам.

Итак, построена иерархия показателей устойчивости эконометрических и экономико-математических моделей. Она с успехом использовалась в исследованиях, подробно развивалась, в частности, в монографии . В частности, полезным оказалось следующее определение.

Определение 6. Модель f называется абсолютно -устойчивой, если где - максимальный абсолютный показатель устойчивости .

Пример. Если показатель устойчивости формируется с помощью метрики, совокупность допустимых отклонений - это совокупность всех окрестностей всех точек пространства исходных данных, то 0-устойчивость модели f "эквивалентна непрерывности модели f на множестве .

Основная проблема в общей схеме устойчивости - проверка -устойчивости данной модели f относительно данной системы допустимых отклонений .

Часто оказываются полезными следующие два обобщения основной проблемы.

Проблема А (характеризации устойчивых моделей). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, совокупность допустимых отклонений и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс -устойчивых моделей f. Или: найти все -устойчивые модели среди моделей, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество моделей.

Проблема Б (характеризации систем допустимых отклонений). Даны пространство исходных данных , пространство решений , показатель устойчивости d, модель f и неотрицательное число . Описать достаточно широкий класс систем допустимых отклонений , относительно которых модель f является -устойчивой. Или: найти все такие системы допустимых отклонений среди совокупностей допустимых отклонений, обладающих данными свойствами, т.е. входящих в данное множество совокупностей допустимых отклонений.

Ясно, что проблемы А и Б можно рассматривать не только для показателя устойчивости , но и для других только что введенных показателей устойчивости, а именно,

Язык общей схемы устойчивости позволяет описывать конкретные задачи специализированных теорий устойчивости в различных областях исследований, выделять в основные элементы в них, ставить проблемы типа А и Б. На этом языке легко формулируются задачи теории устойчивости оеешений жифференциальных уравнений, теории робастности статистических процедур, проблемы адекватности теории измерений (см. главу 3), достигаемой точности расчетов в статистике интервальных данных (см. главу 11) и в логистике (см. монографию ), и т.д.х

Таким образом, общая схема устойчивости естественным образом включает в себя классические понятия теории устойчивости по Ляпунову. Вместе с тем стоит отметить, что эта схема дает общий подход к различным проблемам устойчивости, прежде всего в эконометрических и экономико-математических постановках, дает систему понятий, которые в каждом конкретном случае должны приспосабливаться к решаемой задаче.

До настоящего момента для определенности речь шла о допустимых отклонениях в пространстве исходных данных. Часто оказывается необходимым говорить и об отклонениях от предпосылок модели. С чисто формальной точки зрения для этого достаточно расширить понятие "исходные данные" до пары (x , f ), т.е. включив "прежнюю" модель в качестве второго элемента пары. Все остальные определения остаются без изменения. Теперь отклонения в пространстве решений вызываются не только отклонениями в исходных данных x , но и отклонениями от предпосылок модели, т.е. отклонениями f . Это соображение нам понадобится в следующем пункте настоящей главы, посвященном робастности статистических процедур.

Различные асимптотические постановки в эконометрической теории (третий пункт настоящей главы) также естественно рассматривать как задачи устойчивости. Если при безграничном возрастании объема выборки некоторая величина стремится к пределу, то в терминах общей схемы устойчивости это означает, что она 0-устойчива в соответствующей псевдометрике (см. выше обсуждение асимптотической устойчивости по Ляпунову). С содержательной точки зрения употребление термина "устойчивость" в такой ситуации представляется вполне оправданным, поскольку рассматриваемая величина мало меняется при изменении объема выборки.

Для стратегического менеджмента весьма важна проблема горизонта планирования (подробнее см. учебное пособие ). Очевидно, что вид оптимальных решений зависит от заранее заданной длины интервала, для которого строится оптимальных план (т.е. от горизонта планирования). Это означает, что необходимо обосновать выбор горизонта планирования. Принять его бесконечным нерационально, поскольку совершенно ясно, что через каких-нибудь 100 лет производительные силы и производственные отношения будут совсем иные, чем в настоящее время, и пытаться их учитывать для принятия решений в настоящее время нецелесообразно. Как же быть? Об этом - в четвертом пункте настоящей главы.

Вопрос устойчивости систем волновал умы ученых давно. Правда, связано это было не с экономическими проблемами, а с функционированием системы Мира, вопрос об устойчивости которой до открытия закона всемирного тяготения решался a priori. Сначала делалось предположение о фундаментальном свойстве мира - устойчивости и хаотичности, затем создавалась система. Проследим некоторую эволюцию взглядов на проблему устойчивости, тем более что, на наш взгляд, это имеет отношение к устойчивости социально-экономических систем.

Ньютон первым построил динамическую модель устойчивости солнечной системы и сразу же столкнулся с вопросом ее функционирования. Ученый вышел из затруднения с помощью «Великого Часовщика», который время от времени должен возвращать планеты на их орбиты.

В дальнейшем понятие устойчивости развивалось параллельно с исследованиями движения планет. В частности, Лагранж считал движение устойчивым, если оно происходит в замкнутой области пространства . В 1773 г. Лаплас сформулировал теорему об устойчивости Солнечной системы: если движение планет происходит в одном направлении, их массы одного порядка, эксцентриситеты и наклоны малы, а большие полуоси испытывают лишь небольшие отклонения относительно среднего положения, то эксцентриситеты и наклоны орбит будут оставаться малыми в рассматриваемом интервале . Однако выяснилось, что теорема не применима на больших интервалах времени и при разных массах планет, что присутствует в реальном мире. Это наблюдается и в развитии социально-экономических систем, где не существует одинаковых по размеру структур, равных для всех организаций условий, а есть стремление обеспечить эффективное функционирование организации на длительный период.

Созданием математически строгой и последовательной теории устойчивости движения наука обязана А. Пуанкаре и русскому математику А. Ляпунову, которому принадлежит наиболее удачное определение понятия устойчивости: «Исследуемое движение считается устойчивым, если все возможные движения, мало отличающиеся от него в начальный момент, в последующем будут мало отклоняться от него на всем интересующем интервале времени. Если же найдется хотя бы одно (!) движение, в начальный момент мало отличающееся от исследуемого, которое постепенно, пусть и через большой промежуток времени, заметно отклонится от него, то исследуемое движение - неустойчиво» . Когда говорят об устойчивости Солнечной системы, как правило, имеют в виду устойчивость движения больших планет на бесконечном или очень большом, сравнимом с ее возрастом, интервале времени, т.е. устойчивость системы имеет место, когда нс происходит никаких принципиальных изменений. В этом случае крайними проявлениями неустойчивости являются уход из Солнечной системы, падение на Солнце или столкновение с другой планетой. Такое событие способно существенно изменить структуру и динамику Солнечной системы. Неудивительно, что многие ученые под устойчивостью системы понимают именно неизменность ее элементов и окружающей среды. Например, советские математики Л. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и американский математик Ю. Мозер разработали теорию, получившую название КАМ-теория. Ее приложение к Солнечной системе дает следующую теорему: если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) (выделено нами. - Примел . авт.) движения будут условно-периодическими, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений. Но такая устойчивость возможна только при отсутствии резонансов, чего не может быть даже в чрезмерно больших системах. Тогда что представляет собой устойчивость при условии постоянных изменений? Ведь если мы возьмем в качестве объекта исследования социально-экономическую систему, где функционирование элементов в настоящее время происходит при бесконечном изменении на микро- и макроуровнях, то вышеприведенная теорема отвергает устойчивость экономики по определению! На самом деле, имеется достаточно много видов устойчивости: относительно возмущения начальных данных (устойчивость по Ляпунову), относительно постоянно действующих возмущений, структурная, практическая, орбитальная, устойчивость по Пуанкаре, устойчивость по Жуковскому, устойчивость по Лагранжу и т.д. В этих определениях кроется возможность обозначить устойчивость системы и в случаях наличия возмущений как внутри системы, так и за ее пределами. Неслучайно наиболее часто используют два вида устойчивости - относительно возмущения начальных данных и относительно постоянно действующих возмущений (достаточно малых внешних воздействий) . Устойчивость относительно возмущения начальных данных есть не что иное , как непрерывная зависимость решений от начальных данных , справедливая па бесконечном интервале времени . Указанную зависимость математически можно представить следующим образом:

где L - const Липшица; t - время, входящее во временной отрезок , на котором рассматриваются решения.

Полученная оценка говорит о непрерывной зависимости решений от начальных данных. Из этой оценки видно, что если начальные точки * 10 и *20 близки, т.е. мала величина 8 = || * 10 - * 2 о ||, то решения *, (t ) и * 2

(t) будут также близки, но только на некотором конечном отрезке времени О t На этом отрезке (1.1) примет вид:

Если мы хотим, чтобы расстояние между решениями х ,(?) и x 2 (t) не превышало заданной величины р на отрезке 0 t Г, то получим

Смысл устойчивости относительно постоянно действующих возмущений состоит в том, что всякое решение возмущенной системы, близкое в начальный момент к заданному решению невозмущенной системы, остается близким к нему всегда , если постоянно действующие возмущения достаточно малы. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях как раз и связана с выяснением того, что же происходит на бесконечном временном интервале с решениями исходной и возмущенной систем, выходящими в начальный момент из одной и той же точки. Устойчивость относительно постоянно действующих возмущений есть не что иное , как непрерывная зависимость решений от правой части уравнения на бесконечном временном интервале { . Об этом говорит и приведенная ниже формула:

Развитие реальных систем немонотонно и включает не только прогрессивные направления, но и пути деградации (которые могут смениться прогрессом, а могут и привести к краху), и направления разрушения. В процессе развития, состоящего из циклически повторяющихся стадий эволюции и скачка, система постоянно переходит из устойчивого состояния в неустойчивое и обратно. Долгое время считалось, что неустойчивые движения бесполезны, не наблюдаемы, что они рано или поздно должны исчезнуть и практически особой пользы от них нет. В теоретическом плане это, возможно, и так. Однако на практике неустойчивые движения могут иметь полное право на существование и практическое использование. Здесь мы вступаем в область практической устойчивости. Анализ понятия практической устойчивости включает в себя следующие аспекты:

1) анализ практически допустимых начальных возмущений;
2) анализ практически допустимых последующих отклонений;
3) оценка временного интервала, за пределами которого эволюция системы не представляет интереса;
4) анализ максимально допустимых внешних воздействий.

Если возмущенное решение при допустимых начальных возмущениях (или допустимых внешних возмущениях) на заданном интервале времени отклоняется от невозмущенного решения в допустимых пределах, то такое

невозмущенное решение называется практически устойчивым. Мы разделяем утверждение А. Филатова: «Вселенная, по-видимому, теоретически неустойчива. Возможно, развитие идет от бифуркации к бифуркации, а между ними система практически устойчива. Если это так, то теоретической устойчивости в природе в принципе нет, и на самом деле следует изучать только неустойчивость и ее реальное воплощение - практическую устойчивость» .

Пусть задано множество В 0 допустимых возмущений начальных данных и множество B t допустимых последующих отклонений возмущенного решения от невозмущенного. Во многих случаях в качестве множества В 0 берется множество вида:

а в качестве множества B t множество

Невозмущенное решение ф(?) называется практически устойчивым, если существует такое множество в пространстве допустимых значений параметров, что решения y(t), начинающиеся в множестве В 0 , остаются в множестве В, на интервале [? 0 ; ? 0 + Л- Наглядно это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1.

Можно сделать промежуточный вывод: выделяя достаточно большое количество видов устойчивости, мы делаем попытку найти ответ на вопрос: как при наличии возмущений системе сохранить свое качество? На наш взгляд, ответ следующий: только в результате постоянных изменений (неустойчивостей) посредством адаптации можно достичь практической устойчивости системы.

Если мы в качестве примера продолжим описывать функционирование Солнечной системы, то можем сказать следующее: при наличии резонансов эволюция динамической системы может идти двумя путями:

1) система пройдет через резонанс, что приведет к резкому скачкообразному изменению элементов орбиты, например, ее наклона;
2) система застрянет в резонансе и перейдет в новое состояние с либра- ционным режимом движения, в котором позиционные элементы (большая полуось, наклон) вместе или по отдельности будут испытывать колебания иногда достаточно большой амплитуды.

Любой из этих сценариев может привести к тому, что объект перейдет на новую орбиту. И это главное: объект сохранит свое качество и будет развиваться, хотя и в новых условиях. Значит, можно с определенной долей уверенности утверждать, что устойчивость системы - ее способность постоянной изменчивости , способность системы сохранять свои параметры в определенной области значений , позволяющей ей поддерживать качественную определенность , в том числе и состава , связей и поведения (но не равновесия!). Такая устойчивость формируется в процессе адаптации системы к изменившимся в результате катастрофы внешним и внутренним условиям и сохраняется в течение большей части эволюционной стадии.

Впервые устойчивость предприятия стала рассматриваться еще в 20-е гг. XX в. Утверждалось, что при работе с минимальными отклонениями системы от эталонов на ее входе и выходе (или в пределах заданных отклонений) она считается устойчивой .

Анализ экономической литературы показывает, что у исследователей в отношении устойчивости предприятия существует практически единое мнение, хотя и с разной интерпретацией:

- состояние устойчивости ассоциируется с состоянием равновесия, стабильности, сбалансированности, любые отклонения от равновесия означают снижение устойчивости (либо ее потерю) ;
- обязательным условием устойчивости предприятия является развитие ;
- под устойчивостью организации понимается сохранение ею своей относительной целостности, структурированности и доходности, обеспечивающей воспроизводство рабочей силы при всех возможных изменениях среды, а также предотвращение разрушения структуры при кризисных явлениях .

Как мы видим, в определения входят понятия равновесия и развития. Но здесь присутствует некоторое противоречие. В экономической энциклопедии равновесие определяется как состояние экономической системы, характеризуемое наличием сбалансированности, уравновешивания разнонаправленных факторов. Равновесие может быть неустойчивым - кратковременным и устойчивым - длительным . А. Борисов определяет экономическое равновесие предприятия как оптимальное соотношение в производстве, обмене, распределении и потреблении ресурсов, необходимых для существования и развития предприятия . Однако здесь необходимо отметить, что существуют разные точки зрения на равновесие. В частности, С. Брагинским и Я. Певзнером под равновесием понимается такая ситуация, в которой при неизменности внешних условий и параметров ни у одного из участников хозяйственного процесса нет стимула менять свое экономическое поведение .

Семантическое значение термина «равно-» подразумевает либо равенство каких-либо частей, показателей, характеристик предприятия либо их оптимальное соотношение. Равенство по определению не может отражать динамический характер существования любой системы, оно противоречит развитию, которое ассоциируется с превышением, дополнением, изменением и т.п. Длительность равновесия не может быть мерой его устойчивости, так как поддержание равенства не означает поддержания устойчивости, в ряде случаев даже противоречит росту или другим направлениям развития предприятия, достижение которых в нестабильных, трудно предсказуемых условиях возможно только при постоянной изменчивости в деятельности системы, чтобы «нащупать» нужный путь развития. Данное обстоятельство можно проиллюстрировать таким примером: канатоходец в цирке устойчив тогда, когда балансирует всеми частями тела, даже невидимо для зрителя.

Оптимальное сочетание и соотношение каких-либо показателей объекта является непостоянным критерием, зависящим от конкретной ситуации, и, следовательно, не может служить мерой устойчивости предприятия. Более обоснованным и отвечающим системному подходу является рассмотрение предприятия не как равновесной системы, а как системы экономических отношений, структура которых складывается и изменяется в соответствии с конкретными условиями деятельности предприятия, что и определяет сбалансированность и устойчивость его существования и развития. Например, Р. Гарипов и М. Ханнанов под экономической устойчивостью понимают систему экономических отношений по поводу формирования и использования финансовых ресурсов, в рамках которых предприятие преодолевает объективные внешние ограничения посредством внутренней перестройки и приспособления (а в ряде случаев посредством активного противодействия), получения возможности осуществлять расширенное воспроизводство . Большая группа авторов утверждает, что устойчивость - это «способность системы осуществлять нормальное воспроизводство сложившейся структуры экономических отношений. Возможность достижения экономической устойчивости и фактическое состояние экономической системы определяет соотношение сил и степень реализации экономических интересов субъекта, от чего зависит сохранение целостности системы» . Данный подход также учитывает развитие как основное условие существования предприятия, влияние внешних и внутренних факторов. Но что есть развитие? Развитие связано с качественными изменениями. Иными словами, изменение и развитие - это разновидности процесса перемен, выделяемые в зависимости от уровня упорядоченности данного процесса . Если рассматривать объект развития как систему, то под качественными изменениями нужно понимать возникновение новых устойчивых структурных составляющих - элементов, связей, зависимостей, т.е. процесс развития связан с преобразованием структуры системы. Здесь хотелось бы обратить внимание на некоторые методологические моменты.

Свойством развития обладают многие системы, не являются исключением и системы управления. Развитие представляет собой путь, который проходит каждая конкретная система с момента ее возникновения. Развитие, как известно, представляет собой закономерное, качественное изменение и характеризуется необратимостью и направленностью. Как и любая система, система управления организацией в своем развитии проходит ряд последовательных этапов, т.е. имеет свой жизненный цикл: 1) возникновение; 2) становление; 3) зрелость; 4) преобразование.

Возникновение и становление представляют собой прогрессивное изменение системы, так как это есть процесс формирования, организации системы управления. В свою очередь, преобразование отражает процесс дезорганизации системы управления. Период зрелости отражает стационарное состояние системы, реализацию ее потенциала. «Стационарность системы равнозначна, по-видимому, стационарности структуры» . В этот период процесс организации уравновешивается равным по силе, но противоположным по направлению процессом дезорганизации.

Возникновение означает появление нового качества. Но ни одна новая система управления не возникает на пустом месте, даже если возникновение системы связано с революционным социально-экономическим преобразованием, все равно осуществляется это на базе предшествующей системы. Возникнув на основе старых управленческих отношений, система управления имеет системные качества, которые укрепляются и расширяются в процессе функционирования и развития. Постепенно новая система управления «достраивается», т.е. образует новые подсистемы, которые необходимы для реализации собственных функций и достижения поставленных целей. «В процессе развития явления обычно наблюдается такая закономерность: развитие идет вначале не за счет всех элементов, а за счет более или менее узкой группы определяющих элементов с последующим доразвитием всех остальных элементов явления» .

Любая социально-экономическая система обладает исторической преемственностью. Как отмечает А. Аверьянов, процесс возникновения можно разделить на два этапа: «1) скрытый, когда в недрах старого появляются новые элементы, идет их количественный рост; 2) явный, когда новые элементы образуют новую структуру, т.е. качество» .

Возникновение всякого нового свидетельствует о том, что старое в данных условиях себя исчерпало, перестало удовлетворять потребностям субъекта управления. Это означает, что всякие организационные перестройки элементов системы ведут не к совершенствованию, а к ее преобразованию.

Возникновение и развитие системы есть возникновение и развитие ее противоречий. Становление представляет собой противоречивое единство процессов дифференциации и интеграции: дифференциация элементов усиливает их интеграцию, а интеграция, в свою очередь, создает предпосылки для дифференциации. Как пишет В. Свидерский, «...характерной особенностью развития как усложнения выступает единство процессов возрастания многообразия структурных зависимостей, с одной стороны, и целостности элементов в рамках данной структуры, с другой» . Этот дифференционно-интеграционный процесс является организационным процессом: «...процесс усложнения структуры можно охарактеризовать как процесс дифференциации и интеграции» .

Зрелая система находится в устойчивом состоянии, но это не означает остановку процесса взаимодействия противоречивых сторон данной системы, что и обусловливает дальнейшее преобразование. По мере становления системы управления развиваются ее функции. Система специализируется и начинает приспосабливаться к определенному способу взаимодействия с внешней средой. В период зрелости прекращаются процессы дифференциации - между элементами системы образуется устойчивая связь, структуризация завершается. Как и любая другая система, система управления может успешно функционировать в той среде, в которой она сформировалась. Переход системы в другую среду неизбежно вызовет ее преобразование. Это закон существования любых систем.

Но даже функционирование в благоприятных внешних условиях не исключает обострения внутренних противоречий, которые выводят ее из состояния равновесия. Система управления вступает в завершающий этап своего развития - этап преобразования.

Преобразование системы управления означает ее переход в новое качество. Причиной преобразования выступает противоречие между формой связи элементов системы и их взаимодействием с внешним окружением. Внешняя среда воздействует на систему управления таким образом, что изменяет способ их взаимодействия со средой. Как пишет В. Прохоренко: «...изменение внутренней структуры вещи сопровождается соответствующей трансформацией совокупности ее внешних свойств, а всякому изменению внешнего мира отвечает определенный (существенный или несущественный) сдвиг во внутренней структуре данного тела» .

Поскольку изменяются функции отдельных подсистем и элементов, то меняются и их связи с остальными частями системы управления, которые функционируют по-прежнему. Происходит уменьшение количества старых элементов и взаимодействий, увеличивается число новых - одна система, таким образом, разрушается, а другая возникает. Процесс преобразования одной системы управления означает одновременный процесс возникновения новой.

Развитие связывается с определенной направленностью процесса. Прогрессивное развитие характеризуется повышением уровня организации системы и ее усложнением. Главное в направлении развития - возникновение новых возможностей в реализации основных целей системы: внутренних и предъявляемых извне требований.

Организация - открытая система, т.е. система, постоянно стремящаяся сохранить баланс между внутренними возможностями и внешними силами окружающей среды (т.е. самостабилизирующаяся) для сохранения своего устойчивого состояния.

Устойчивость - способность системы подходить к равновесному состоянию при воздействии внутренних и внешних возмущений посредством постоянных изменений. Причем мы считаем, что к устойчивости предприятие стремится всегда, не только при незначительных отклонениях, как полагают некоторые авторы. Например, А. Романцов пишет, что «устойчивость промышленного предприятия - это способность системы управления обеспечивать функционирование предприятия под влиянием внешних и внутренних факторов в состоянии равновесия и возвращать его в данное состояние после незначительных отклонений» .

Анализ представленных точек зрения позволяет сделать вывод, что подавляющее большинство авторов акцентируют внимание на приспособлении, на адаптивном характере поведения предприятия при определенном состоянии окружающей среды. Под устойчивостью какого-либо явления или процесса подразумевается неподверженность его колебаниям и изменениям; твердость, стойкость, надежность; постоянство, пребывание в одном состоянии; способность сохранять данное состояние, несмотря на действие различных сил . Например, М. Ханнанов подчеркивает, что устойчивость достигается при таком «состоянии экономических и общественных отношений, при котором отсутствуют угрозы критического характера и сохраняется способность субъекта адекватно реагировать на эти угрозы, коль скоро они возникнут» . Но, как мы уже писали, внешняя среда сегодня не позволяет надеяться на отсутствие угроз катастрофического характера и на возможность приспособления: угрозы возникают быстрее, чем предприятия успевают к ним приспособиться и предсказать многие из них. Современные условия ставят вопрос о неэффективности адаптационного поведения предприятия, крайне динамичные и трудно прогнозируемые, они требуют опережающего развития организации.

В своей книге «Теория катастроф» А. Арнольд приводит ряд примеров, когда устойчивый установившийся режим функционирования системы обычно уничтожается, столкнувшись с неустойчивым режимом (причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика) или вследствие нарастания (бесконечно быстрого) самоиоддерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере подхода к катастрофе .

Приведем пример из теории перестроек. Математическая модель теории перестроек была создана задолго до перестройки экономики в России в конце XX в. Проблемы перестройки заключаются в ее нелинейности. Общепринятые методы управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, здесь не действуют, и необходимо выработать управляющие воздействия, основанные на порой парадоксальных выводах нелинейной теории. С точки зрения теории перестроек, смену административной системы управления экономикой на рыночную можно представить следующим образом (рис. 1.2).

А. Арнольд делает следующие качественные выводы для нелинейной системы, находящейся в установившемся состоянии, признанном плохим, в предположении, что в пределах видимости имеется более предпочтительное устойчивое состояние системы:

1) постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению (точка а на рис. 1.2). Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается;

Рис. 1.2.

2) но мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет;
3) максимум сопротивления (точка /;) достигается раньше, чем самое плохое состояние (точка с), через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. При прохождении максимума сопротивления состояние системы продолжает ухудшаться (до точки с);
4) при приближении системы к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление системы, начиная с некоторого момента, уменьшается (точка Ь). И как только самое плохое состояние системы (точка с) пройдено, сопротивление не только полностью исчезает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию (путь к точке е)
5) величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слаборазвитая система может перейти в него почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости (читай - закостенелости), на такое постепенное, непрерывное улучшение не способна;
6) если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно быстро к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния. Инициировать скачок может только интеллектуальный потенциал человека.

Приведенные законы являются объективными законами функционирования нелинейных систем, с которыми нельзя не считаться. Рассмотренные простейшие качественные выводы из нелинейной теории перестроек весьма важны и в то же время очень надежны: они мало зависят от деталей функционирования системы.

В этом контексте несколько ограниченным подходом к определению устойчивости является акцент на финансовую устойчивость предприятия, поскольку здесь, но определению, не может быть неравновесия 1 . А ведь именно такой подход остается главным при определении устойчивости социально-экономических систем.

Как мы уже отмечали, для действительного сохранения организации нужны более значительные активности, чем те, из которых состояло паше организованное целое. Увеличение активностей может дать нам среда, что, в свою очередь, обусловливает необходимость изменять внутренние соотношения комплекса, его структуру. А. Богданов, проводя параллель между социальным и живым, отмечал, что в живой клетке процессы роста изменяют молекулярные связи, а в социуме развитие организации ведет к изменению структуры. Предприятию необходимо так управлять своей деятельностью, внутренними, а возможно и внешними параметрами, чтобы обеспечить не просто устойчивое функционирование, а постоянно создавать дополнительные преимущества, предвосхищая, опережая будущие изменения среды, реализовывать открывающиеся возможности и снижать угрозы, оставаясь при этом внутренне и внешне устойчивым. Ранее мы говорили о математическом обосновании практической устойчивости. В экономическом контексте практическая устойчивость организации зависит не только от количества сконцентрированных в нем активностей-сопротивлений, но и от способа их сочетания, от характера их организационных связей, вида организационной структуры. Даже в экономической теории при определенном обсуждении устойчивости денежной единицы главная роль отводится человеку: «На устойчивость денежной единицы, помимо ее товарного наполнения, оказывают влияние и факторы, связанные с особенностями экономического и монетарного поведения индивидов» . Считаем необходимым остановиться на этом подробнее.

Любое предприятие является неким структурным образованием, обладающим системными свойствами. Важнейшим признаком системы является то, что составляющие систему элементы образуют во взаимосвязи единое целое с качественно новыми свойствами. Учитывая этот признак, следует подчеркнуть, что система есть упорядоченная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, закономерно образующих единое целое, обладающая свойствами, отсутствующими у элементов, ее образующих. Система обладает целостностью, активностью, способна к развитию и повышению своей организованности. В этой связи выделяют общесистемные, интегральные свойства системы, которые характеризуют ее поведение: полезность, эффективность, самоорганизация, безопасность, устойчивость, управляемость, надежность, живучесть. Интересно представил взаимосвязь интегральных свойств сложных систем В. А. Острейков- ский (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

динамических систем 1

Интегральные свойства сложных систем в общем случае не являются простой суммой свойств, входящих в систему элементов. Для реалистических оценок состояния системы необходимо изучение всех ее свойств. Любая система должна соответствовать своей среде, приспосабливаться к ней, что дает возможность говорить об устойчивой организованной системе, т.е. констатировать наличие положительных и отрицательных изменений.

В данном контексте устойчивость можно рассматривать с двух сторон. С одной стороны, под устойчивостью можно понимать сохранение, неизменное состояние по отношению к возмущающим воздействиям внешней и внутренней среды организации, с другой - ее можно рассматривать как процесс, своего рода движение «вперед», в результате которого происходит развитие и совершенствование организационных структур и систем.

На наш взгляд, второе более очевидно, так как ничто не бывает постоянным, а значит, в любой организованной системе всегда присутствует элементы хаоса, которые требуют координации . Рассматривая в качестве примера устойчивость денежной единицы, уместно вспомнить о теории соглашений (конвенций) - одном из направлений институциональной теории в рамках ее французской школы, где соглашение - определенная форма координации взаимодействия индивидов, вырабатываемая под влиянием всей совокупности формальных и неформальных норм и правил общественного поведения. Индивиды действуют в рамках различных форм координации или соглашений по поводу соблюдения норм общественного поведения, т.е. действуют «в среде, состоящей из множества разнородных сфер или миров» . В тектологии в качестве организации выступает «организационный комплекс», элементами которого являются различные активности-сопротивления, находящиеся в определенном сочетании и взаимодействии. Причем эта взаимосвязь довольна гибкая и подвижная, способствует легкой перегруппировке элементов; неслучайно этот характер связей получил название «организационной пластичности» . Организационная пластичность способствует повышению приспособляемости комплекса к новым изменяющимся условиям среды, что благоприятствует устойчивому развитию системы. Однако пластичная организация таит в себе одно противоречие: подвижность элементов системы допускает разрушение связей между ними, что вызывает нарушение равновесия и приводит к своего рода неустойчивости организации. Таким образом, организационная пластичность, с одной стороны, приводит к усложнению организационных форм, повышению их приспособляемости, организованности и гибкости, с другой стороны - к снижению прочности, устойчивости, появлению новых «уязвимых мест».

Находясь в постоянном взаимодействии со средой, система отдает свои активности, но в то же время столько же берет из окружающей среды. По существу, система развивается. На наш взгляд, развитие - это способ существования комплекса в изменяющейся среде.

Внутри системы возникают процессы, направленные на преодоление внешнего воздействия и восстановление равновесия. Таким образом, сохранение форм и устойчивости всей системы возможно лишь за счет прогрессивного развития, иначе она просто не выживет под воздействием все усложняющейся среды.

Основываясь на существовании взаимоотношений и взаимодействия между системами, т.е. на существовании согласованного развития систем, можно утверждать, что устойчивость организации зависит от уровня организованности системы. Устойчивости всей системы способствует то, что одна часть системы усваивает отторженное другой. Кроме того, устойчивость комплекса может обеспечиваться за счет дополнительных связей с другими системами и увеличения разнообразия дайной системы. Чем более разнообразна система, тем больше шансов, что один ее разрушенный элемент может быть заменен другим. «Природа при всей своей бесконечности и вечности имеет начало и конец... Устойчивость - стремление к равновесию, взаимодействие начала и конца» . Иначе говоря, нормальным состоянием системы является состояние неравновесное. Для этого есть объективные причины, о которых мы уже заявляли, говоря о человеке, о разнообразии его состояний.

Продолжая разговор, хотим обратить внимание на подход К. Валь- туха, который исходит из того, что в процессе производственной деятельности человек «систематически создает из предметов, находимых в природе, такие продукты, которые либо совсем не порождаются спонтанным природным формообразованием, либо порождаются лишь сравнительно редко» . По мнению К. Вальтуха, производство представляет собой производство информации. Информация же, как мера разнообразия, формирует неопределенность, относительное неравновесие, которое способствует устойчивости. Информационное взаимодействие по своей природе является резонансным взаимодействием. Упоминая об устойчивости Солнечной системы, мы подчеркивали роль резонансов в достижении устойчивости. В этой связи вот как определяет устойчивость экономической системы Л. Амирханова: «Устойчивость экономических систем - способность своевременно получать, обрабатывать информацию, формировать ресурсы и выдавать продукцию с требуемой производительностью в соответствии со спросом потребителей при воздействии возмущающих факторов внутренней и внешней среды» .

Для сохранения системы в меняющейся внешней среде недостаточно простого обменного равновесия. Гарантией устойчивости может служить лишь возрастание суммы активностей, когда новые неблагоприятные воздействия встречают не прежнее, а возросшее сопротивление. И разрушение системы происходит именно из-за уменьшения суммы этих активностей- сопротивлений.

Если организация развивается, то это ведет к дальнейшему усложнению организации, появлению дополнительных связей, которые приводят к более устойчивым структурным соотношениям.

В кибернетике устойчивость характеризует способность системы функционировать в состояниях, по меньшей мере, близких к равновесию в условиях постоянных внешних и внутренних возмущающих воздействий. Равновесие определяется как динамическое, т.е. это не столько состояние, сколько процесс, характеризуемый некоторой равновесной траекторией движения системы. При этом траектория будет равновесной, если она неуклонно и кратчайшим во времени или пространстве путем ведет систему к цели. Достижение точно определенного состояния равновесия и пребывания в этом состоянии в течение длительных промежутков времени - это скорее исключение, предел, к которому удается лишь приблизиться. Хотя приближение к такому предельному состоянию требует от системы многих качеств, которые в комплексе определяются как устойчивость.

В действительности имеют место не абсолютно, а относительно устойчивые состояния организации. Такие состояния не являются состояниями полного равновесия, но подобны равновесным. При таком «квазиравновес- ном» состоянии имеет место относительно слабый обмен энергией между системой и окружающей средой, но зато относительно большая информационная связь между ними.

Чем больше неоднородность внутренних связей в системе, тем она менее устойчива и, наоборот, с возрастанием их однородности происходит увеличение устойчивости системы. В первом случае имеющиеся структурные противоречия сохраняются и к ним добавляются все новые и новые, во втором - идущее разрушение отрывает от комплекса прежде всего наименее прочно связанные с ним элементы, разрывает наиболее противоречивые связи. Усложнение этих связей, рост их неоднородности снижают стройность и устойчивость всей системы. И рано или поздно развитие системы приводит к неустойчивости и кризису, так как части целого становятся различными, и накопившиеся системные противоречия перевешивают силу дополнительных связей между частями и ведут к их разрыву, к общему нарушению организационного единства.

Устойчивость структуры зависит от: 1) наличия механизмов, предназначенных для того, чтобы некоторые наиболее важные характеристики системы оставались практически неизменными независимо от всевозможных внешних воздействий; 2) наличия так называемой структурной избыточности, т.е. возможности дублирования существенных элементов системы. Такая избыточность позволяет не нарушать функционирование системы при неблагоприятных внешних воздействиях, а значит, сохранить устойчивость структуры. Однако у такого сохранения существует предел. Если условия внешней среды выходят за те границы, в которых система с данной структурой устойчиво функционирует, то вначале наступает нарушение основных функций, а затем и структуры в целом. Для предотвращения такой ситуации системы могут компенсировать неблагоприятные возмущения благодаря большему числу их разновидностей, наличию более широких границ изменений каждого возмущения и оперативности во времени. По существу, устойчивость системы является следствием разрешения кризиса.

Кризис любой системы представляет собой переход от одного этапа развития к другому, из одного качественного состояния в другое со своей критической точкой. Причиной любого кризиса является разрушение какой-либо внутренней связи, приводящей к потере устойчивости того равновесия, в котором находилась система.

Никоноров В.М.
К.э.н., доцент ВШУБ
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Nikonorov V.M.
Ph.D., Associate Professor VSHUB
St. Petersburg Polytechnic University of Peter the Great

Аннотация: Автор детально рассмотрел виды математической устойчивости. Предложил применить для описания сложной социально-экономической системы систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Автор указал, что в этом случае возможно применение критериев Рауса, Гурвица, Михайлова для оценки устойчивости решения системы.

Abstract: The author has in details considered types of mathematical stability. I have suggested to apply to the description of difficult social and economic system the system of the linear uniform differential equations with constant coefficients. The author has specified that in this case use of criteria of Raus, Gurvits, Mikhaylov for assessment of stability of the solution of system is possible.

Ключевые слова: Решение, устойчивость, начальные данные, внешние возмущения, практическая устойчивость.

Keywords: Decision, stability, initial data, external indignations, practical stability.

Актуальность. Существует достаточное количество исследований устойчивости сложной социально-экономической системы на экономическом уровне, например, . Но, как представляется автору, недостаточно рассмотрен математический аспект устойчивости сложной социально-экономической системы. Применение математического аппарата для оценки устойчивости сложной социально-экономической системы позволит обеспечить оптимальное управление соответствующей сложной социально-экономической системой.

Объект исследования – сложная социально-экономическая система.

Предмет исследования – устойчивость сложной социально-экономической системы в математическом аспекте.

Цель исследования – рассмотреть существующие определения математической устойчивости сложной системы и предложить сопряжение для действующей сложной социально-экономической системы.

Методы исследования: анализ, сравнение, изоморфизм.

Системный подход к изучению сложной социально-экономической системы рассмотрен в .

Прежде следует определиться, устойчивость какого показателя рассматривается в данном исследовании. Иначе говоря, какой сигнал данной сложной социально-экономической системы будем рассматривать в качестве выходного и, соответственно, какие возможно подходы для обеспечения устойчивости выбранного сигнала. Если выбрать для рассмотрения такие сложные социально-экономической системы, как розничная торговля, образование, здравоохранение, охрана правопорядка, то можно предположить, что выходной сигнал соответствующей сложной социально-экономической системы – благо, поставляемое данной системой населению страны:

1) розничная торговля – продовольственные и непродовольственные товары;

2) образование – образовательная услуга;

3) здравоохранение – медицинская услуга;

4) охрана правопорядка – обеспечение безопасности граждан от лихих людей.

Тогда на примере розничной торговли можно предположить, что данная сложная социально-экономическая система будет устойчива в том случае, если она будет обеспечивать конечное потребление населения страны в части продовольственных и непродовольственных товаров в заранее заданном фиксированном диапазоне. Соответственно, в качестве входных сигналов в данную систему можно предложить следующие:

продукция сельского хозяйства страны;
продукция собственной промышленности;
импорт;
основные средства розничной торговли;
занятые в розничной торговле.

Данная сложная социально-экономическая система зависит от времени, то есть это динамическая система. Систему можно описать системой дифференциальных уравнений. Для простоты расчетов возможно задействовать линейные однородные дифференциальные уравнения в полных производных.

Соответственно, уместно говорить об устойчивости решения данной системы линейных однородных дифференциальных уравнений (далее – СЛОДУ) на неограниченном временном интервале. Однако, существование человеческой популяции не может быть вечным, поэтому временной интервал можно ограничить. Например, оставшимся сроком жизни Солнца. Поскольку существующие виды математической устойчивости относятся именно к устойчивости решения, рассмотрим различные виды математической устойчивости (табл.1).

Таблица 1

Виды устойчивости решения системы

№	Вид устойчивости	Краткое определение	Дополнения
1	По Ляпунову	Есть частное решение системы дифференциальных уравнений (далее – СДУ) в момент времени t0 и х0 (невозмущенное решение). Если решение СДУ при незначительном изменении х0 на δ (возмущенное решение при возмущении начальных данных на δ) достаточно близко к невозмущенному решению, то это частное решение СДУ устойчиво.	Анализируя поведение реальной сложной экономической системы (далее – СЭС), мы сталкиваемся с тем фактом, что начальные условия не изменить, они уже пройдены.
2	Относительно внешних возмущений (Демидович Б.П.)	В СДУ появляются постоянно действующие внешние возмущения (правая часть в системе СДУ). Если решение (2) в момент времени t0 близко к решению (1) в момент времени t0и остается таким же близким на всем временном интервале, то решение (1) устойчиво относительно постоянных внешних возмущений μF(t, x).	Начальные условия реальной СЭС уже пройдены и мы не можем знать, как бы развивалась система, если бы эти начальные условия были отягощены постоянным внешним возмущением. Нет возможности верификации ЭММ,
3	По Жуковскому	Это разновидность устойчивости по Ляпунову, если скорость прохождения временного интервала будет изменена.	Соответственно, на экономическом уровне здесь начальные условия уже зафиксированы, нет возможности изменить их.
4	Практическая	Если допустимое отклонение решения (2) от решения (1) и временной интервал исследования предварительно заданы, и при прохождении этого временного интервала допустимое отклонение находится в заданных границах, то это практическая устойчивость.	Нет возможности сравнения расчетных и фактических данных. Невозможно провести многократно натурный эксперимент с СЭС.
5	Аттракторы	Решение СДУ на фазовой плоскости (в фазовом пространстве) может стремиться к некоторой точке (устойчивый узел – аттрактор, неустойчивый узел – репеллер). Т.е решение сложной экономической система во временном интервале стремится к аттрактору.	Задач исследования скорее определить стабильность системы на заданном временном интервале, что ближе к практической устойчивости.
6	Для системы СЛОДУ с постоянной матрицей	Если упростить экономическую модель, описать ее системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей А, то система устойчива, когда у корней матрицы А неположительные вещественные части Re λ j (A) ≤ 0, (j=1,…,n) (3)	Можно использовать это упрощение при построении математической модели сложной экономической системы, так как оно приводит к применению критериев Гурвица, Рауса, Михайлова.

Все рассмотренные виды устойчивости динамической системы так или иначе связаны с устойчивостью по Ляпунову. Если возможно будет описать сложную социально-экономическую систему системой СЛОДУ с постоянной матрицей (соответственно, с постоянными коэффициентами), то вопрос об её устойчивости может быть решен посредством критериев Гурвица, Рауса, Михайлова.

Результаты исследования.

Исследованы виды устойчивости сложных социально-экономических систем на математическом уровне.
Предложен вариант оценки устойчивости решения сложных социально-экономических систем.
Предварительное описание сложной социально-экономической системы системой СЛОДУ с постоянными коэффициентами позволит применить для исследования устойчивости решения критерии Рауса, Гурвица, Михайлова.

Дальнейшее направление исследования – описать сложную социально-экономическую систему системой СЛОДУ с постоянными коэффициентами и исследовать устойчивость решения данной сложной социально-экономической системы.

Библиографический список

1. Исаенко Л.В. Теоретический аспект экономической устойчивости системы потребительской кооперации // Вестник Белгородского университета потребительской кооперации. –2006. –№ 4.– С. 217-218.
2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки/ Л.И. Лопатников. – М.: Дело, 2003.
3. Иоффе В.В. Оценка экономической устойчивости промышленного предприятия: автореф. … канд. экон. наук: 08.00.05. / В. В. Иоффе. – Иркутск, 2002.– 25 с.
4. Whitehead А.N. Process and reality. N.-Y.: Macmillan company, 1967. 546 p.
5. L. Bertalanffy «Theoretische Biologie», Bd. I, Berlin, 1932. 122 p.
6. Ростова О.В., Ильин И.В. Методы информационного обеспечения инновационной деятельности // Наука и бизнес: пути развития. 2017. №2, с.30-35.
7. Ильин И.В. Зайченко И.М. Выбор стратегии развития предприятия на основе метода анализа иерархий // Наука и бизнес: пути развития. 2017. №1, с.29-36.
8. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Л.: Гостехиздат, 1950.- 464с.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – СПб.: Лань, 2008.- 480с.

УДК 338.46

развитие теории устойчивости социально-экономических систем

Сульповар Л.Б.,

доктор экономических наук, профессор,

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

The author discusses the theoretical, scientific and practical challenges of sustainable development in the socio-economic systems. The article establishes principles for the sustainable development, describes local sustainability indicators, which should define the stability integral indicator.

В статье рассматриваются теоретические и научно-практические проблемы обеспечения устойчивого развития социально-экономических систем. Обосновываются принципы устойчивого развития систем, предлагаются локальные показатели устойчивости, на основе которых должен определяться интегральный показатель устойчивости.

Ключевые слова: устойчивость, социально-экономические системы, показатели устойчивости.

Мировой финансовый кризис оказал негативное влияние на все основные институты рыночной экономики: производственный сектор, банковскую систему, внешнеэкономическую деятельность, социальную сферу. В этих условиях особую актуальность приобрела проблема обеспечения устойчивого развития всех субъектов рынка.

Теория устойчивости социально-экономических систем первоначально возникла как ветвь других отраслей знания (математики, теории систем, кибернетики и др.) и вобрала в себя ряд междисциплинарных категорий. В экономической теории проблемы устойчивости экономических систем до недавнего времени рассматривались в основном с точки зрения результата, итога их функционирования, а также с позиций принципов, сформулированных математикой.

Устойчивость социально-экономической системы значительно отличается от технической и физической устойчивости. Для экономической теории характерным является рассмотрение проблем устойчивости одновременно с проблемами воспроизводства и рыночного равновесия. К.Маркс, например,

считал закономерным неравновесие между основными подразделениями общественного производства. Если это закономерное явление осуществляется, равновесие отсутствует, в этом заключается устойчивый характер воспроизводства экономической системы индустриального типа. Если закон нарушается и система находится в состоянии равновесия, следовательно, устойчивость расширенного воспроизводства отсутствует.

Устойчиво воспроизводящаяся неустойчивость - закон рыночной экономики. Потеря устойчивости системы наблюдается в период кризиса, перехода системы из одного состояния в другое. Развивая эту идею в «Капитале», К. Маркс подчёркивает, что формальная метаморфоза создаёт общую возможность кризиса: «Но нельзя сказать, что абстрактная форма кризиса есть причина кризиса. Если спрашивают о его причине, то хотят именно знать, почему его абстрактная форма, форма его возможности, превращается из возможности в действительность»^].

Первая математическая модель общего экономического равновесия была предложена в конце XIX века. Л. Вальрас и А. Маршалл

вопросы ТЕОРИИ

рассматривали неустойчивость в контексте множества точек равновесия: неустойчивое положение неизменно находится между двумя устойчивыми . Проблему устойчивости равновесия, начиная с 30-х годов XX века, исследовали Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф. Хан, Т. Негиши, Л. Маккензи, X. Узава и др.

Дж. Xикс предложил критерий устойчивости, в соответствии с которым увеличение цены данного товара должно вызывать снижение избыточного спроса на него, причём этот эффект сильнее возможного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цен других товаров, изменение которых было порождено изменением спроса на них в результате изменения цены исходно товара.

П. Самуэльсон предложил собственный подход к анализу устойчивости, он исходил из представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точке, т.е. понимал её как свойство системы возвращаться к равновесной траектории после изменения исходных условий. Он обратился к динамическим характеристикам процесса «нахождения цены», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и величины избыточного спроса на него.

Одним из направлений, исследующих проблемы устойчивости, является институционализм. Представители этого направления считают, что устойчивость системы нарушается, когда внутренние и внешние факторы подрывают совместимость и взаимную «сце-пленность» институтов. После этого наступает период радикальных изменений в обществе и экономике .

Устойчивость всей экономической системы, согласно воззрениям институционалистов, зависит от сочетания меры однородности и неоднородности институциональных единиц. Полная однородность ведёт к затормаживанию развития и к уничтожению системы, а полная неоднородность - к нарастанию энтропии и хаоса. Исходя из этого излишняя внутренняя диверсифицированность не менее опасна, чем полная однородность.

Особое влияние на устойчивость системы оказывают «институциональные ловушки», под которыми понимаются неэффективные устойчивые нормы, неэффективные институты. Термин «институциональная ловушка» применяется также к неэффективным равно-

весиям, порождаемым соответствующей нормой. Стабильность в этом контексте имеет обычный смысл. Она означает, что при малых возмущениях система остаётся в институциональной ловушке, возможно, лишь немного меняя свои параметры, и возвращается в прежнее состояние, как только источник возмущения устранён .

В рассматриваемом случае имеет место негативная, неблагоприятная для экономической системы устойчивость. Данное состояние невыгодно для участников системы, но отказ отдельного субъекта от установленных правил ведёт к ухудшению его состояния. Главной причиной устойчивости институциональных ловушек является недостаток координации.

На современном этапе исследования устойчивости социально- экономических систем учёными всё чаще высказываются идеи о необходимости синтеза ортодоксальной и эволюционной экономики для более полного исследования проблем устойчивости и «равновесия- неравновесия» экономических систем.

В центре исследований последних двух десятилетий оказываются уже не сами по себе устойчивость или неустойчивость, а вопрос о соотношении этих категорий, трансформирующийся в проблему взаимосвязи стабильности и нестабильности, определённости и не-определённости. Понятие «нестабильность», по мнению И.Пригожина, «...освобождается теперь от негативного оттенка. Неустойчивость может выступать условием стабильного динамичного мира» .

Явления, которые воспринимались наукой как второстепенные (хаос, случайность, инерция), обретают ведущее и позитивное значение, тем более что в конечном итоге неустойчивость есть не что иное, как диалектическое определение, возникающее на почве устойчивости как его противоположность. Развитие вообще и устойчивое, в частности, возможно лишь вследствие появления неустойчивости.

Движение от неустойчивого состояния, вызванного внешним воздействием, к новому устойчивому состоянию, отвечающему изменившимся условиям, это, по существу, и есть развитие. Задача состоит в том, чтобы научиться воспринимать устойчивость в связи с неустойчивостью, т.к. они взаимосвязаны. В этой связи актуализируется исследование проблем переходности, трансформации.

Учёные, исследующие проблемы устойчивости социально-экономических систем, всё чаще обращаются к аппарату теории катастроф, неравновесной динамики и синергетики и опираются на исследования нелинейных процессов в естественных науках и на представлении о наличии определённого всеобщего алгоритма самоорганизации и развитии сложных систем (Е.Ерохина, Е.Князева, И.Пригожин, И.Шургалина). Однако проведение параллели между уровнем развития естествознания и обществоведения вызывает критику.

Значительное внимание при исследовании устойчивости уделяется проблемам хаоса. Феномены «хаоса» и «неопределённости», видимо, оказываются новыми «рамочными факторами», которые в начале XXI столетия становятся крайне значимыми, если не определяющими, для тенденций развития мировой экономики и политики. Учёными предпринимаются попытки исследования устойчивости в условиях неопределённости и хаоса, а также процесса перехода экономики из одного экономического порядка в другой через хаотическое состояние.

Современный анализ устойчивости социально-экономических систем часто оперирует понятием «структурная устойчивость» . Особенность такого подхода - анализ семейства траекторий, «близких» к стандартной схеме, т.к. структурная устойчивость характеризует качественное сходство различных систем при изменении разных параметров. На этапе перехода структурной устойчивости одного типа в структурную устойчивость более высокого типа через состояние структурной неустойчивости вступает в силу новый закон необратимых изменений: чем выше уровень декомпозиции прежней структуры, тем глубже альтернативность процесса развития и реальнее непредсказуемость конечного результата происходящих событий: их завершения в соответствии с заранее намеченным сценарием .

Между скоростью отмирания «старых» элементов и скоростью роста новых элементов складываются особые отношения. Если рост новых элементов не опережает скорости отмирания «старых» элементов, система будет сохранять свою структурную устойчивость, но при опережающем росте нарождающихся элементов между новыми и старыми элементами

не успевают складываться функциональные связи, и система вступает в фазу интенсивной декомпозиции прежней своей структуры. При лавинообразном наступлении состояния структурной неустойчивости система становится чрезвычайно чувствительной к внешним воздействиям.

Перспективным направлением является исследование «квазиустойчивости», которой обладает любая траектория, начинающаяся вблизи положения равновесия и остающаяся в границах, близких к равновесию без обязательного его достижения. В современной литературе встречаются варианты рассмотрения экономических систем как «активной нерав-новесности» .

Большое прикладное значение имеет не только исследование устойчивости экономической системы в целом, но и её отдельных элементов, например, финансовой устойчивости, устойчивости социально-трудовых отношений, устойчивости внешнеэкономической деятельности и др. В 70-е годы прошлого века появляется отдельное направление экономической мысли, исследующее экономическую устойчивость государства. Его называют «ecosestate» («economic security of state»). Представители данного направления считают, что обеспечить экономическую устойчивость государства можно только при экономической устойчивости его структурных элементов (территорий, отраслей, предприятий).

Отмечается рост интереса к проблемам социальной устойчивости, в т.ч. со стороны международных организаций. В докладе Всемирного банка о мировом развитии в 2003 году акцентируется внимание именно на социальной устойчивости. Это связано с тем, что общества трансформируются и будут продолжать трансформироваться с течением времени.

Однако ясно, что значительные социальные стрессы (в крайнем проявлении -социальные конфликты) ведут к нарушению накопления или сохранения всех ресурсов, угрожая тем самым благосостоянию всех поколений и устойчивости. Успех такого рода работ в области исследования устойчивости объясняется эмпирической направленностью (как по методам исследования, так и по назначению). Однако обнаружение и понимание реальных закономерностей устойчивости систем может

быть реализовано только на следующем уровне обобщения - системном.

Продолжаются попытки разработки количественных критериев устойчивости социально-экономических систем. При этом выделяются два основных направления: разработка показателей, применение которых возможно только для социально-экономических систем (например, модель Альтмана), и адаптация показателей устойчивости, применяемых в математике и физике.

Нередко встречаются попытки адаптации к экономическим процессам теорий устойчивости по Ляпунову и по Лангранжу. Однако исследователи отмечают, что оценка устойчивости социально-экономических систем по Ляпунову на современном этапе практически невозможна из-за трудности описания ограничений на те или иные возмущения и сложности учёта всех возможных возмущений .

Значительное внимание уделяется проблемам не только собственно устойчивости социально-экономических систем, но и их устойчивого развития . Переход к устойчивому развитию означает создание сбалансированной системы, сочетающей в себе социальную справедливость, экологическую (и иную) безопасность и экономическую эффективность . Его основной задачей является достижение оптимальных результатов развития с минимальным ущербом для окружающей среды.

На международном уровне исследуются проблемы устойчивости экономических систем, вступивших в постиндустриальную фазу развития. Как известно, постиндустриальное общество формируется на фундаменте, прочность которого обусловлена тесной взаимосвязью прогресса технологий и развития личности. Именно это обеспечивает устойчивость возникающей системы, делает её неуязвимой для внешних дестабилизирующих факторов. Хозяйственная и политическая практика 90-х годов свидетельствует, что в настоящее время не существует серьёзных угроз стабильности западного мира. В значительной мере этому способствует нарастание замкнутости постиндустриального сообщества в пределах его основных центров - США, Европейского союза и отчасти Японии, которые с начала 90-х годов получили быстро укоренившееся название «the triad» .

Учёные вплотную подходят к разработке моделей формирования устойчивости социально-экономических систем. Особое внимание уделяется проблемам устойчивости мировой и национальной экономики в условиях глобализации. Осознаётся необходимость развития социально-экономических систем особого рода диссипативных структур, которые могут сохранять устойчивость в условиях турбулентной внешней среды . Это связано с тем, что социальное проектирование вступает в эру быстро сменяющих друг друга креативных моделей «одноразового применения», имеющих короткий период жизни, заметно снижающих роль обобщений, индивидуализированных применительно к той или иной ситуации вне пространств стандартных конструкций и привычных методов соцпроектирования. Фундаментальное преимущество в этом случае оказывается в руках субъектов, контролирующих сам процесс установления тех или иных правил игры применительно к тем или иным изменчивым обстоятельствам. Подобное нестабильное динамичное состояние хаотизирующейся, теряющей свою привычную структурность среды, в которой традиционные социоконструкции лишены поддержки и продолжают существовать в прежних формах лишь по инерции, позволяет успешно развиваться только одному, особому классу («новому классу») социальных структур-диссипативных, для которых подобное положение вещей является естественным. Эти структуры характеризуются приспособленностью к динамичной среде и несут в себе инфраструктуру сосуществования с хаосом и управления им.

Таким образом, современные подходы к исследованию устойчивости социальноэкономических систем характеризуются методологическим плюрализмом, углубляющейся взаимосвязью с естественными науками, попытками обоснования ведущей роли неустойчивости и хаоса в экономическом развитии, разработкой теории устойчивости составных элементов системы и глобальной теории устойчивости.

Термин «устойчивость» применительно к социально-экономическим системам, являющимися субъектами рыночных отношений, можно сформулировать следующим образом: устойчивость развития таких систем - это состояние, которое в условиях динамических

изменений внутренней и внешней среды обладает положительной тенденцией к получению дохода и обеспечивает на длительный период удержание, а в последующем и расширение контролируемой части целевого рынка на основе постоянно разрабатываемых и внедряемых инвестиций в производственную деятельность.

Методические принципы устойчивого развития социально-экономических систем можно подразделить на общие и частные. К общим принципам относятся следующие:

Принцип ответственности перед будущим - определённые ограничения в области эксплуатации природных ресурсов;

Принцип партнёрства - объединение усилий различных сторон для достижения поставленной цели;

Принцип соблюдения иерархии уровней - уровни механизма устойчивого развития: государственный и региональный;

Принцип единства целей - деятельность всех уровней иерархии объединяется единством целей;

Принцип комплексности - для достижения устойчивого развития необходима реализация следующих систем обеспечения: законодательно-правовой и нормативной, экономической, научной, образовательной, материально-технической, кадровой, организационной;

Принцип единства организации законодательства - стабильность и адекватность законодательной базы для всех видов деятельности.

В свою очередь, частные принципы включают в себя:

Принцип регулярности - предоставление информации о новациях во всех смежных отраслях;

Принцип оперативности - информирование организаций о наиболее значимых инновационных достижениях в короткие сроки;

Принцип доступности - свободное доведение нововведений до заинтересованных организаций;

Принцип достоверности - недопущение искажений или ошибок при распространении информации;

Принцип полноты - информация о новшествах должна быть полной и достаточной;

Принцип равноправия - обеспечение равных прав и возможностей в получении и доступе к информации для всех организаций;

Принцип защищённости - применение допускаемых законами способов и средств защиты информации, составляющей государственную, служебную и коммерческую тайну.

Устойчивость деятельности социальноэкономической системы является сложной и комплексной категорией, которая включает ряд частных (локальных) показателей, характеризующих отдельные стороны её состояния и развития. Наиболее важными из них являются следующие:

Маркетинговая устойчивость - наличие неудовлетворённой потребности целевого рынка в продукции, работах и услугах, производимых (выполняемых или оказываемых) данной организацией при определённом уровне цены и качества;

Производственная устойчивость - наличие у организации потенциальной способности производить объём производства продукции, работ и услуг, превышающий безубыточный;

Технологическая устойчивость - способность стабильного обеспечения конкурентоспособного уровня качества производимой продукции, выполняемых работ и оказываемых услуг и базирующаяся на использовании прогрессивной технологии;

Устойчивость технического потенциала - способность основных фондов производить продукцию, работы и услуги конкурентоспособного уровня;

Экологическая устойчивость - способность организации обеспечивать долгосрочное соблюдение правил, норм и нормативов по охране окружающей природной среды (ПДУ, ПДВ, ПДК и др.);

Кадровая устойчивость - степень адапти-рованности трудового коллектива организации к условиям производства;

Организационная устойчивость -соответствие организационной структуры управления организацией условиям внешней и внутренней среды;

Финансовая устойчивость - способность организации в обозримом будущем не иметь просроченных платежей по своим обязательствам;

Экономическая устойчивость - способность организации обеспечить максимально эффективное использование всех используе-

мых ресурсов (факторов производства) в долгосрочной перспективе.

Все эти виды устойчивости характеризуют состояние и развитие организации с разных сторон, при этом все они тесно взаимосвязаны и влияют друг на друга и на главенствующий показатель - экономическую устойчивость. Только взятые в комплексе отдельные виды устойчивости позволяют судить об интегральной устойчивости деятельности организации и возможностях её дальнейшего развития.

Рассчитанные локальные показатели устойчивости развития организации, главным из которых является показатель экономической устойчивости, рассматриваемый отдельно от других показателей, дают возможность определить интегральный показатель устойчи -вости и на основе его величины разрабатывать необходимые организационно-технические и экономические мероприятия по дальнейшему повышению устойчивости.

Литература

1. Ансофф И. Новая корпоративная стратегия. СПб: Питер, 1999.

2. БогдановА.А. Тектология: всеобщая организационная наука / Под ред. Абалкина Л.И. и др. М.: Экономика, 1989.

3. ГороховА.В. Формализация понятия «устойчивое развитие для социально-экономических систем //Теоретические и прикладные модели информатизации региона: Сб. науч. трудов. Аппатиты: КНЦ РАН, 2000.

4. Кибиткин А.И. Устойчивость сложных экономических систем в условиях рынка. Аппатиты: ИЭП КНЦ, 2000.

5. КнязевЕ.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. СПб.: Изд-во Алетейя, 2002.

6. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000.

7. Лось В.А., Урсул А.Д. Устойчивое развитие: Учебное пособие М.: Агар, 2000.

8. ЛяпуновА.М. Работы по теории потенциала. М.: Изд-во Наука, 2004.

9. Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 23.

10. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975.

11. Пригожин И. Философия нестабильности. М.: Изд-во «Вопросы философии», 1991.

12. Саати Т., Керис К. Аналитическое планирование. Организация систем. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991.

13. Самуэльсон П.Э., Нордхаус В.Д. Экономика. Пер. с англ. 16-е изд.: Учебное пособие. М.: Вильямс, 2000.

14. ХазановаЛ.Э. Математическое моделирование в экономике. Учебное пособие. М.: Бек, 1998.

15. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. В 2-х томах. Т. 1. Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1992.

16. Харин А.А., КоленскийИ.Л. Управление инновациями. Кн. 2. М.: Высшая школа, 2006.

17. Хоскинг А. Курс предпринимательства. Практическое пособие: Пер. с англ. М.: Международные отношения, 1993.

18. Шумпетер Й. Теория экономического развития: Исследование предпринимательской прибыли, капитала, кредита, процента и цикла конъюнктуры. Пер. с нем. М.: Прогресс, 1982.