Пусть на отрезке функция у=f(x) задана таблично, т.е. (x i , y i), (i=0,1,..,n), где y i =f(x i). Так заданную функцию называют «сеточной ».

Постановка задачи : найти алгебраический многочлен (полином ):

степени не выше n такой, чтобы

L n (x i)=y i , при i= 0,1,..,n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах x i , (i =0,1,..,n ) те же значения, что и сеточная функция у =f(x) .

Сам многочлен L n (x) называется интерполяционным полиномом , а задача – полиномиальной интерполяцией .

Найти многочлен L n (x) – это значит найти его коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n . Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a i , (i =0, 1,…,n ):

где x i и y i (i =0,1,…,n ) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение .

Определив коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) :

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается , что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона , применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита .

Сплайн-интерполяция . При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию , когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер .

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x i , y i (i =1,2,…,n ), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
y i	y 1	y 2	…	y n

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j(х), значения которой при x=x i , возможно мало отличалось бы от опытных данных y i , (i =1,..,n ). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j(х) на отрезке [x 1 ,x n ]:

f(x) @ j(х) . (5.9)

Аппроксимирующая функция y= j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР) .

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной , если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

Сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция );

Выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L : y= j(х) «возможно ближе » примыкающей к системе экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n , заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров .

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.

Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 5.1. И уравнение регрессии записывается в виде (5.11), т.е. зависит от (m +1) параметра

Эти параметры и определяют расположение графика уравнения регрессии относительно экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n (рис.5.2).

Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе » к системе этих экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (5.11) от табличного значения y i для x i : , i= 1,2,..,n.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений, которая зависит от(m +1) параметра

Согласно МНК наилучшими коэффициентами a i (i =0,1,..,m ) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений, т.е. функцию .

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов :

Для аппроксимирующей функции (5.11) система (5.14) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Возможны случаи:

1. Если , то существует бесконечно много многочленов (5.11), минимизирующих функцию (5.13).

2. Если m=n –1, то существует только один многочлен (5.11), минимизирующий функцию (5.13).

Чем меньше m , тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше. Необходимо помнить, что полученная эмпирическая формула должна быть адекватной изучаемому объекту.

Лабораторная работа №2

Приближение функций, заданных таблично

Цель лабораторной работы

Приобретение практических навыков в построении интерполяционного многочлена Лагранжа и использование его для вычисления приближенных значений функций вне узлов интерполяции.

Приобретение практических навыков построения аппроксимирующих функций (аналитических зависимостей) по совокупности дискретных экспериментальных данных об изменениях значений функции при изменениях значений аргумента.

Задание

Для функций, заданных в таблице 1:

· построить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить по нему значения функции для заданных значений аргумента;

· изучить технологию расчетов интерполяционных многочленов в Excel;

Для функций, заданных в таблице 2:

· Вычислить коэффициенты аппроксимирующих многочленов 1-й и 2-й степени, записать многочлены и построить их графики, на которые нанести также заданные табличные точки (расчеты выполнить в виде таблиц);

· изучить технологию регрессионного анализа с помощью Excel.

Интерполирование функций

Постановка задачи

Для функций, заданных таблицами их значений на конечном интервале, возникает необходимость вычисления значений функций для значений аргументов, отсутствующих в таблице. Тогда строят функцию, которая в заданных точках принимает заданные значения, а в остальных точках интервала приближенно представляет заданную функцию. А затем вычисления значений функции для любых значений аргумента в области определения заданной таблично функции выполняют по построенной функции. Задача интерполирования – построение такой приближенной функции. Чаще всего интерполирующую функцию отыскивают в виде алгебраического многочлена. Геометрически задача интерполирования заключается в построении кривой , проходящей через заданную таблично систему точек.

Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть функция в точках соответственно принимает значения .Требуется построить многочлен степени не выше n, принимающий в точках (узлах интерполирования) значения . Расстояние между узлами интерполирования может быть различным. Решение этой задачи – многочлен Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа в общем виде

где – базисные функции, числитель которых содержит все разности , а знаменатель – все разности за исключением .

При этом в точках значения многочлена и функции совпадают. При других значениях разность в общем случае отлична от нуля и представляет собой истинную ошибку метода. Величина является остаточным членом интерполяции.

Пример 1.1. Запишем интерполяционный многочлен для функции, заданной тремя точками:

X
Y

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить приближенно значение функции для .

Для построения интерполяционного многочлена воспользуемся формулой при :

Проверяем значения функции для узлов интерполяции:

Вычисляем

Интерполяционную формулу в Ехсеl можно построить достаточно простым способом. С практической точки зрения главная проблема заключается в вычислении в произвольной точке значений базисных функций.

Пример 1.2. Запишем интерполяционный многочлен для функции, заданной шестью точками:

X0	X1	X2	X3	X4	X5	Y0	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	X
1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	0,88	0,91	0,93	0,95	0,96	0,97	1,54

На рис. 1.1 представлены исходные данные, по которым будет выполняться интерполяция. На этом же рисунке проиллюстрирован процесс определения первой базисной функции.

В диапазоне ячеек А6:А11 представлены заданные значения аргументов функции, а в диапазоне ячеек В6:В11 – значения функции для узловых точек аргумента. В ячейку А2 вводится значение аргумента, для которого необходимо вычислить значение интерполяционного полинома. Значение полинома будет выводиться в ячейке В2. Важным моментом является заполнение ячеек в диапазоне С6:С11, где будут отображаться значения базисных функций в точке, указанной в ячейке А2. Именно по этим значениям и значениям ячеек из диапазона А6:А11 определяется значение интерполяционного полинома (ячейка В2).

Диапазон С6:С11 заполняется так: отдельно первая и последняя ячейки диапазона, а все остальные ячейки - распространением одной формулы. В частности, в ячейку С6 вводится формула

ПРОИЗВЕД(А2-А7:А11)/ ПРОИЗВЕД(А6-А7:А11),

согласно которой определяется первая базисная функция. Сразу следует отметить, что и эта формула, и все прочие формулы из диапазона С6:С11, вводятся как формулы для диапазонов, т.е. с помощью нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Причина состоит в том, что аргументами функции ПРОИЗВЕД() указываются результаты арифметическихопераций с диапазонами.

ПРОИЗВЕД($A$2-$A$6:A6;$A$2-A8:$A$11)/ПРОИЗВЕД(A7-$A$6:A6;A7-A8:$A$11).

Абсолютные и относительные ссылки в формуле подобраны так, чтобы при ее копировании в следующие ячейки, ссылки на начальную А6 и конечную А11 ячейки диапазона, равно как и на ячейку А2 со значением переменной, для которой вычисляется базисная функция (и весь полином), оставались неизменными. Это абсолютные ссылки. Вместе с тем, в процессе копирования формулы произведения в ней вычисляются без учета значения аргумента в той строке, где размещена формула. После ввода формулы в ячейку С7 данная формула с помощью маркера заполнения копируется во все ячейки, вплоть до С10 (Рис. 1.2).

Наконец, в ячейку С11 необходимо ввести формулу

ПРОИЗВЕД(А2-А6:А10)/ ПРОИЗВЕД(А11-А6:А10).

Поскольку формулы из начальной С6 и конечной С11 ячеек диапазона С6:С11 никуда копировать не предполагается, то и ссылки там относительные. Результат можно видеть на рис. 1.3.

После этого осталось только вычислить интерполяционный полином. Для этого достаточно в ячейку В2 ввести формулу

СУММПРОИЗВ(В6:В11;С6:С11)

Эта формула вводится как обычная, то есть нужно нажать клавишу Enter. Результат представлен на рис. 1.4.

На рис. 1.5 проиллюстрирована ситуация, когда в качестве аргумента указано узловое значение. Как и следовало ожидать, в узловой точке значение интерполяционного полинома равно табличному значению функции в этой точке, а все базисные функции, кроме той, что соответствует указанному узлу, равны нулю. Отличная от нуля базисная функция равна единице.

Пусть на отрезке в некоторой последовательностиузловзадана функциясвоими значениями, где. Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочленастепени, удовлетворяющего условию интерполирования:.

Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициентыполиномаможно определить из системы уравнений:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функциейв точках.

Решение. Пусть , поэтому имеем

Поэтому при.

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени :.

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного, где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

.

Действительно, . Причислитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функциейв точках

.

Решение. Составим таблицу

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до-го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполированияи точку.

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

Используя конечные разности, можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента. Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем, то есть использовать эту формулу для всех. Для других случаев вместопринять, еслипри. В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции, причем. Из-за этого при больших значенияхмы не можем вычислить высших порядков.

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функциязадана таблицей

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона впередтогдаи

Пример. Задана таблица. Найти .

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках. Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив, имеем

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции, заданной таблично.

Решение.

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

Полином Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x i различны, существует единственный многочлен L (x ) степени не более n , для которого L (x i ) = y i .

В простейшем случае (n = 1 ) - это линейный многочлен, график которого - прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) и (7,9) , а также полиномы y j l j (x) , каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x i

Пусть для функции f (x ) известны значения y j = f (x j ) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от l j не зависят от f (x ) , и их можно вычислить заранее, зная последовательность x i .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x 0 :

,

и, следовательно,

.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y , который строится с использованием только целочисленной арифметики . Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полином Лагранжа" в других словарях:

Форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел, где все различны, существует единственный многочлен степени не более, для которого. В простейшем случае (… Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия

Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n -степени. Одним из способов представления данного интерполяционного полинома n-степени может быть использован многочлен в форме Лагранжа.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа – это математическая функция позволяющая записать полином n -степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки в различные моменты времени с непостоянным временным шагом измерений.

1. Интерполяционная формула Лагранжа

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Лагранжа записывается в следующем виде:

где ˗ степень полинома ;

˗ значение значения интерполирующей функции в точке ;

˗ базисные полиномы (множитель Лагранжа), которые определяются по формуле:

Так, например, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, проходящий через три заданных точки , будет записываться в следующем виде:

Многочлен в форме Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что при построении полинома степени n+1 полностью теряется информация о предыдущем полиноме степени n, т.е. с изменением числа узлов приходится все вычисление выполнить заново.

2. Погрешность интерполяционного полинома в форме Лагранжа

Рассмотрим функцию f (x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке . Интерполяционный полином L (x) в форме Лагранжа принимает в точках заданные значения функции . В остальных точках интерполяционный полином L (x) отличается от значения функции f (x ) на величину остаточного члена , который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа:

А бсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа определяют следующим образом:

где n ˗ степень полинома

Переменная представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале

Погрешность интерполяции методом Лагранжа зависит от свойств функции f (x ), а также от расположения узлов интерполяции и точки x . В случае если погрешность не достигает нужной точности, то нужно разбить отрезок на части и интерполировать каждую часть в отдельности – кусочная интерполяция.

Выбор узлов интерполяции

С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:

В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:

3. Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:

1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.

2. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Лагранжа по следующей формуле:

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа представлен на рисунке 1.

Методика вычисления полинома в форме Лагранжа