Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.
Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .
Упорядоченная пара
Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.
Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости
Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.
В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке
Определение графика
Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения
Пример: нарисовать график y = x 2
Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0
Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2
является искомой точкой пересечения оси x.
Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.
Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже
x-пересечение
Пусть y = 0
1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у
Пусть x = 0
y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y
На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.
График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.
График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.
График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.
Определение:
График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)
Постройте график f(x) = x + 2
Пример 2. Постройте график f(x) = |x|
График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x
для x < 0 .
graph of f(x) = -x
Соединяя эти два графика, мы получаем
график f(x) = |x|
Пример 3. Постройте график
t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Следовательно, эта функция может быть записана в виде
y = x + 2 x ≠ 2
График h(x)= x 2 - 4 Or x - 2
график y = x + 2 x ≠ 2
Пример 4. Постройте график
Графики функций с перемещением
Предположим, что график функции f(x) известен
Тогда мы можем найти графики
y = f(x) + c - график функции f(x), перемещённый
ВВЕРХ на c значений
y = f(x) - c - график функции f(x), перемещённый
ВНИЗ на c значений
y = f(x + c) - график функции f(x), перемещённый
ВЛЕВО на c значений
y = f(x - c) - график функции f(x), перемещённый
Вправо на c значений
Пример 5. Постройте
график y = f(x) = |x - 3| + 2
Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график
Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2
Постройте график
y = x 2 - 4x + 5
Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.
y = x 2 - 4x + 5
Отражения
(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y
(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x
Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y
Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x
График может быть получен отражением и перемещением:
Нарисуйте график
Найдём его отражение относительно оси y, и получим график
Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график
Вот искомый график
Если f(x) умножена на положительною постояную c, то
график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1
график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1
Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f
Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.
Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.
Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).
Пример 1.
Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.
Ответ: рисунок 1.
Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Первое уравнение равносильно системе
{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).
То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.
Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Построить график уравнения |y| = 2 + x.
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе
{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.
Строим множество точек.
Ответ: рисунок 2.
Пример 3.
Построить график уравнения |y – x| = 1.
Решение.
Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.
Ответ: рисунок 3.
При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.
Пример 4.
Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.
Решение.
В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.
1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:
2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.
2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.
График данного уравнения будем строить по четвертям.
Ответ: рисунок 4.
Пример 5.
Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.
Решение.
Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.
| Область |
Знак подмодульного выражения |
Полученное уравнение после раскрытия модуля |
| I | x ≥ 1 и y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x < 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x < 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 и y < 1 | x – y = 1 |
Ответ: рисунок 5.
На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .
Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.
Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :
- Записать уравнение, соответствующее неравенству.
- Построить график уравнения из пункта 1.
- Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
- Изобразить графически множество всех решений неравенства.
Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.
Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.
1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .
2)
|x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7
.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .
4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.
5)
xy ≤ 1. Рисунок 10.
Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.
Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;
2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;
3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком
данного уравнения;
4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;
заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;
6) Развивать логическое мышление учащихся.
I.Новый материал - объяснительная лекция с элементами беседы.
(лекцияпроводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)
У: При изучении линий возникают две задачи:
По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;
Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.
Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.
Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.
Рассмотрим уравнения вида:
а) х(х-у)=4; б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1 .
– это примеры уравнений с двумя переменными.
Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)=(x,y) , где f и – выражения с переменными х и у.
Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,
Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4 .
То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 или
2х 2 + у 2 = 0 .
Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).
Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.
Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями . Например, уравнение х(х + у 2) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 - х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.
Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).
Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.
Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1) . Если a = b = c = 0 , то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2) , если же a = b = 0 , а c0 , то графиком является пустое множество(рис.3) .
График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0) – гиперболу(рис.5) . Графиком уравнения х 2 + у 2 = r , где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равнымr (рис.6). Графиком уравнения является эллипс , где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).
Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений
1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.
2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х .
3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.
4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а < 0).
5) График уравнения F (x, y-b) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения на |b| единиц параллельно оси у (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0).
6) График уравнения F (аx, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью сжатия к оси у и а раз, если а > 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 < а < 1.
7) График уравнения F (x, by) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью с помощью сжатия к оси х в b раз, если b > 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 < b < 1.
Если график некоторого уравнения повернуть на некоторый угол около начала координат, то новый график будет графиком другого уравнения. Важными являются частные случаи поворота на углы 90 0 и 45 0 .
8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.
9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате
поворота около начала координат на угол 45 0
по часовой стрелке переходит в график уравнения F
= 0, а
против часовой стрелки – в график уравнения F 
= 0.
Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.
Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).
Преобразуем уравнение следующим образом:
1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у , и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;
2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 - 9 = 0;
3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.
Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9 .
Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.
Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.
Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения
х 2 + (2у) 2 = 9.
Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).
Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 - у 2 = 8.
Воспользуемся формулой F= 0.
Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:
У: Что представляет собой график уравнения у = ?
Д: Графиком уравнения у = является гипербола.
У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 - у 2 = 8 в уравнение у = .
Какая линия будет являться графиком данного уравнения?
Д: Значит, и графиком уравнения х 2 - у 2 = 8 является гипербола.
У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .
Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.
У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = - х. (рис.19).
Пример 4: Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.
Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).
Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 - у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.
II Закрепление.
(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).
Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) являются решениями уравнения:
а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?
Решение:
Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 - у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 - 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (И)
1 - 1= 0 + 0 (И)
125 – 1 =-100 – 24 (Л)
1 – 1 = - - (И)
Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; -).
Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 - х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.
Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.
2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:
3у 2 - 9у = 12.
4) Решим это уравнение:
3у 2 - 9у – 12 = 0
Д = 81 + 144 = 225
Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 - х 2 у = 12
Задание3. Определите степень уравнения:
а) 2у 2 - 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х - у 2) = х;
б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).
Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.
Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:
а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;
г) (х - 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.
Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х ; б) оси у ; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.
Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):
а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.
Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.
Ответ: а)у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).
б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);
в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);
г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);
д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);
е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).
III. Самостоятельная работа обучающего характера.
(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4 ..
I.вариант.
а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).
а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.
х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.
а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;
б) х 2 -у 2 = 1;
в) х - у 2 = 9.
х 2 - 2х + у 2 - 4у = 20.
Укажите координаты центра окружности и её радиус.
6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 16 ?
Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.
7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 - 1
II вариант.
1.Определите степень уравнения:
а)3ху = (у-х 3)(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 - 7 = 0.
2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:
а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.
3. Найдите множество решений уравнения:
х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.
4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:
а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9
б) у 2 - х 2 =1
в) х = у 2 - 1.
(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)
5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:
х 2 + у 2 - 6х + 10у = 2.
6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 28 ?
7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.