Величина где I-доход потребителя, p1p2-цены блага, х2-количество 2-го блага. В этом случае блага один и два: взаимозаменяемые.

Выберите правильное утверждение, соответствующее кейнсианской теории рыночной экономики 1) общий случай равновесия в рыночной эк-ке-при наличии безработицы, а полная занятость лишь особый случай; 2)инвест-й спрос уменьшается с ростом процентной ставки.

Выберите прав ильное утверждения, выполнение которых повышает достоверность и точность определения параметров экономико-математической модели. 1.Принятая методика определения параметров модели должна быть корректной с точки зрения обеспечения достоверности, 2. Должен имеется достаточный для нахождения математической модели объем исходной информации о входных и выходных показателях объекта, 3.вектор входных показателей должен сильно изменяться на изучаемом интервале, 4. Принятая априори модель, должна отражать существенным образом фактические закономерности изучаемого объекта.

Выборочное уравнен ие парной регрессии y=-3+2x, тогда выборочный коэффициент парной корреляции может быть равен..(-3,2,0.6,-2,-0.6) … 0.7 или 0.6.

Выборочно е уравнение парной регрессии имеет вид у=-3+2х. Тогда выборочный коэф-т парной корреляции может быть равен: 0,7.

где В – коэффициент приростной капиталоемкости;С(t)- объем потребления;Y(t) - объем дохода;В каком случае он будет максимальным, а в каком равен нулю, если С(t)=сonst:максимум достигается при , а равен нулю при Y(0)=C(0).

Гипотезы , используемые при выводе функции спроса на рабочую силу в классической модели рыночной экономики: Фирмы полностью конкуренты при предложении товаров и найме рабочей силы. При прочих равных условиях предельный продукт труда снижается по мере роста использования рабочей силы.

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена равна. ОТВЕТ:х1= 0,34+0,18+340.....х2=0;25+0,53+280.

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена = 1 .

Даны функции спроса и предложения S=2p+1,5, где p-цена товара. тогда равновесная цена= 5,5.

Даны функции спроса q=(p+6)/(p+2) и предложения s=2p-2, где p-цена товара. Тогда равновесная цена равна: 2.

Даны ф-ции спроса q=p+6/p+2 и пред-ие s=2p-2….. 2.

Если сохраняются равные условия, то с ростом цены спрос на товары Гиффина:… растет.

Если в модели Солоу произвести учёт инвестиционного лага в виде сосредоточенного лага, то связь инвестиций I(t) с вводом фондов V(t) можно отразить в виде уравнения… V(t)= I(t-t) ().

Если из валового внутреннего продукта вычесть амортизационные отчисления то получим: вновь созданную стоимость(Н.Д.) .

Если из валового внутреннего продукта вычесть амортизационные отчисления то получим:чистый внутренний продукт.

Если перекрёстный коэффициент эластичности спроса от цены >0, то….(I товар заменяет j).

Если произв-ая ф-ция y=f(x 1 ;x 2), то св-во означающее, что при росте ис-ия одного ресурса предельная эф-ть ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Если производственная функция является однородной функцией степени р >0, то при р=2 и росте масштаба производства в 3 раза во сколько раз возрастает объем выпуска…9.

Если производственная функция является однородной функцией степени р >0, то при р=2 и росте масштаба производства в 4 раза во сколько раз возрастает объем выпуска… 16.

Если происходит увеличение дохода потребителя, то спрос перемещается (укажите правильное утверждение): с товаров с малой эластичностью на товары с высокой эластичностью. Объем потребления товаров с малой эластичностью сокращается.

Если ПФ имеет вид y=f(x 1 ;x 2) , то свойство означающее, что при росте использования одного ресурса предельная эф-ть другого ресурса возрастает выражено формулой: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Если сохраняются равные условия, то с ростом цены спрос на товары Гиффина: растет.

Зависимость между издержками производства и объемом продукции выражается функцией равны: 3.

Зависимость м ежду издержками производства и объемом продукции выражается функцией .Тогда предельные издержки при объеме производства равны: 23.

Зависимость между издержками производства С и объемом продукции Q выражается функцией . Тогда предельные издержки при объеме производства Q=10 равны:.. 3 .

Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом продукции Q выражается как С=20-0,5*Q. Тогда эластичность с/с при объеме производства Q=10 равна: -1/3.

Задана произ-ая ф-ция вида: Y=3 K 0,5 *L 0.5 тогда ср продукт труда равен при K=25 ,L=100…… 1.5.

Задачей потребительского выбора является: Найти такое кол-во товаров из заданного набора, при к-ом мак-ся ф-ция полезности потребителя.

Задачей потребительского выбора является: задача заключается в выборе такого потребительского набора(х,х), который максимизирует функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Задачей потребительского выбора является: найти такое количество товаров из заданного набора, при котором максимизируется функция полезности потребителя.

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса..ОТВЕТ: мин возможный объем выпуска .

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса: Каждая дополнительная единица ресурса дает всё меньший прирост объема выпуска.

Закон убывающей эффективности производства характеризуется тем, что с ростом величины используемого ресурса..ОТВЕТ: максимально возможный объем выпуска продукции (у) растет.

Из уравнения Слуцкого можно получить ( количество товара, цена товара). Это соответствует:(возможно несколько ответов):1) товару Гиффина, 2)малоценному товару.

Какие гипотезы используются при выводе функции спроса на рабочую силу в классической модели рыночной экономики: фирмы полностью конкурентны при предложении товаров и найме раб силы; при прочих равных условиях пред продукт труда снижается по мере роста раб силы.

Какие дополнительные с ложности затрудняют построение ЭММ …. сложность проведения в экономке активного эксперимента.кроме того фактически каждый экономический объект или процесс уникален,что делает невозможным простое тиражирование однажды построенных моделей.

Какие практические задачи решаются с помощью ЭММ. 1. Анализ экономических объектов и процессов 2. Экономическое прогнозирование и предвидение развития экономических процессов 3. Выработка управленческих решений на всех уровнях экономики.

Какое утверждение соответствует решению задачи серого полупрозрачного ящика: Имеется информация о входных и выходных показателях, а также известна или принята в качестве базовой модель определенной структуры. Задача идентификации в этом случае заключается в нахождении параметров этой модели.

Какое утверждение соответствует решению задачи серого ящика: кроме входных и выходных пок-ей задана стр-ра опер-ра преобр.зад. сводиться к опред.парм-м стр-ры.

Какое утверждение , согласно модели Кейнса, будет верным: при росте процентной ставки потребительский спрос растет, а инвестиционный спрос падает (Спрос на потребительские товары растет линейно с ростом предложения товаров, Спрос на инвестиционные товары линейно убывает с ростом нормы процента).

Конечный продукт в динамической балансовой модели по сравнению с конечным продуктом в статической балансовой модели не включает в себя экспорт.

Конечный продукт в динамической балансовой модели по сравнению с конечным продуктом в статической балансовой модели не включает в себя: межотраслевые капитальные вложения.

Коэффициент эластичности спроса от цены Е ii p <-1. Это соответствует товару с: высокой эластичностью спроса.

Макроэкономическими равновесными моделями считаются такие модели, которые описывают такое состояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из данного состояния, равна 0.

Модель Леонтьева (статический баланс) включает уравнение вида: х i -Sa ij =y j .

Модель межотрослевого баланса, для выпускаемых продуктов объёме Х1 и Х2 с матрицей коэффициентов прямых затрат и конечном продуктом в объёме 340 и 280 единиц соответственно, имеет вид: х 1 =0,34х 1 +0,18х 2 +340; х 2 =0,25х 2 +0,53х 2 +280..

Модель Торнквиста п»спрос-доход» вида (другие буквы): ответ: предметы роскоши(2 группа ).

Модель Торнквиста , «спрос-доход» вида Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3: предметов роскоши.

Модель Харрода-Домара в виде дифференциального уравнения
имеет след.решение: ).

На изокванте производственной функции Кобба-Дугласа:

На линии

На линии безразличия потребительский наборы имеют:одинаковые значения ОТВЕТ: V(t)= I(t-τ).

На производственной функции Кобба-Дугласа на изокванте : показаны сочетания значений капитала и труда, обеспеч-х один и тот же выпуск.

По линии безразличия потребительский набор имеет: одинаковый уровень удовлетворения потребностей индивидуума.

По мере увеличения дохода спрос перемещается (укажите правильное утверждение): ОТВЕТ: По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой группы, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

По мере увеличения дохода спрос перемещается (укажите правильное утверждение): C товаров с малой эластичностью на товары с высокой эластичностью.Объем потребления тов с мал эластичностью сокращается.

Предел полезности 1-го продукта u =8 а 2-го продукта u = 2 . на сколько индивидуум должен уве потребление 2 продукта если он уменьшил потребление первого продукта на одну еденицу... 4.

Предельные полезности первого продукта , а второго продукта . На сколько должен индивидуум увеличить потребление 2-го продукта, если он уменьшил потребление первого продукта на одну единицу ответ: не уверена:3.

При использовании обозначений: -доля валовых инвестиций в ВВП, а-доля промежуточного продукта в валовом выпуске, Х(t)-валовый выпуск продукции в модели Солоу величина фонда непроизводственного потребления С(t) находиться по формуле: С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

При анализе модели Леонтьева (статистический межотраслевой баланс)показано, что сумма конечных продуктов и сумма условно чистой продукции :…равны друг другу.

При использовании обозначений: - доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте, a - доля промежуточного продукта в валовом выпуске,X(t) - валовый выпуск продукции в модели Р.Солоу величина фонда непроизводственного потребления С(t)находится по формуле: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

При небольшом увеличении объема производства условно переменные затраты на 1 изделие: остаются неизменными.(увеличиваются,возможно)

При описании ислед-го процесса с помощью ПФКД частные эф-ти были следующими: по фондам Е к =2, по труду Е l =8. В этом случае обобщенный пок-ль эф-ти Е равен: 16.

При описании Ответ:3(2 в степени о,5 умнож на 4,5 в степени о,5).

При описании в 3 раза.(в 2 не точно)

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=4,5. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен. ..3( 2 в степени о,5 умнож на 4,5 в степени о,5).

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=8. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен.: 4 или 16.

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа вида частные…..эффективности были следующими: по фондам Ek=2, по труду EL=4,5. В этом случае обобщённый показатель эффективности Е равен.

При описании исследуемого процесса с помощью производственной функции Кобба-Дугласа стало известно, что обобщенный показатеь эффективности производства Е=1,5, а масштаб производства М=2. В этом случае валовый выпуск увеличился в 3 раза.

При построении ЭММ по известным входным и выходным показателям объекта в качестве критерия близости отражения моделью свойств управления чаще всего используют… минимум суммы квадратов разностей.

При принятых обозначениях … Выбытие капитала и величина валовых инвестиций.

При принятых обозначениях f(Kо)-производительность труда на стационарной траектории, -фондовооруженость труда на стационарной траектории имеет вид… ().

При принятых обозначениях в модели Солоу условие выхода экономики на стационарную траекторию имеет вид ответ:k(t)=k в степени 0=const.

При принятых обозначениях …одно из уравнений в модели Р.Солоу в относительных единицах будет иметь вид: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1-a )f/(2) В данном уравнении слагаемые (1) и (2) отображают влияние на изменение фондовооруженности.

При прочих равных условиях с ростом цены спрос на товары Гиффинаспрос на всё растёт .

При решении ;p1x1+p2x2=I где I=1000, p1=5, p2=10eд.. Чему равно количество 1 товара 2 го товара…. 100ед.-1товар и 50ед.-второй.

При решении задачи потребительского выбора получили систему уравнений ;p1x1+p2x2=I где I=1000, p1=10, p2=5eд.. Чему равно количество 1 товара 2 го товара. …. 50, 100.

При увеличении дохода, спрос на товар при неизменной цене обычно…. Увеличивается (меняется по синосоудальному закону).

Производственна я функция , тогда предельный продукт при Kt=4, Lt=25 равен 2,5.

Производственная функция , тогда предельный продукт при Kt=4, Lt=25 равен … 0.2.

Производственная Kt=1100, Lt=9900. Чему равна предельная фондоотдача …. 1,5 (или10)

Производственная функция вида называется: Линейной, аддитивной производственной функцией.

Производственная функция задается как X t =K t 0,5 ´L t 0,5, где K t -капитал, L t - труд. Тогда предельный продукт труда ¶У/¶L при K t =16, L t =25 равен: 0,4.

Производственная функция Кобба -Дугласа имеет вид где Kt=4000, Lt=10. Чему равна предельная производительность труда Ответ: 10.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид где Kt=9000, Lt=10. Чему равна предельная производительность труда ….. 15.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид математическое ожидание поправочного коэффициента равно.. =1.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:X t =K t 0,5 ´L t 0,5 ;К t =900,L t =10. Чему равна предельная производительность труда ¶Х/¶L: 15.

Производственна я функция называется динамической, если: 1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины, влияющей на объем выпуска 2)параметры ПФ зависят от времени 3) характеристики ПФ зависят от времени.

Производственная функция это- такая функция, независимая переменная которой принимает значения объемов используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).

Производственная ф -ция К-Д имеет вид на сколько процентов увеличиться выпуск Xt при увеличении капитала Kt на 1% (0,4).

Производственная ф-ция наз-ся динамической если: Время t фигурирует..Параметры ПФ зависят от времени …. Характеристика производственной ф-ции зависит от времени.

Промежуточный продукт в схеме, отражающей взаимосвязь макроэкономических показателей в закрытой экономике страны, это: средства труда и предметы потребления.

Процесс установления равновесной цены в паутинооб-ой модели… Остаются неизменными.

Пусть функция полезности имеет вид , первоначальные цены благ и . Доход индивидуума равен 2000 ед., а оптимальный набор товаров ; Если цена возросла в четыре раза, то чему будет равны компенсированный доход индивидуума и значения оптимального набора благ :I k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Пусть функция полезности имеет вид u(x1;x2)=x1*x2, первоначальные цены благ Р1 и Р2. Доход индивидуума = 1000 ед., а оптимальный набор товаров х1=100 ед, х2= 20 ед. Если цена возросла в 4 раза, то чему будет равны компенсированный доход индивидуума и значения оптимального набора благ (х1 х2)… 2000 50,40.

Равновесными моделями считаются… Модели которые описывают такое состояние эк-ки, когда результирующие всех сил. (ответ.равно 0)

Расположите в правильном порядке этапы построения ФУИ:1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ2.Построение математической модели3.Математический анализ модели4.Подготова исходной информации 5.Численное решение6.Анализ численных результатов и их применение.

Расположите в правильном порядке этапы построения ЭММ: 1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ2.Построение математической модели3.Математический анализ модели4.Подготова исходной информации 5.Численное решение 6.Анализ численных результатов и их применение.

С помощью какой модели (в виде одной формулы) можно на уровне экономики страны отразить валовой выпуск, промежуточный продукт, валовой внутренний продукт: Балансовой модели Леонтьева.

С помощью какой модели можно на уровне экономики страны отразить зависимость валового выпуска и используемых ресурсов: … модель Кобба-Дугласа.(ПФКД)

С помощью какой модели(в виде одной формулы).. взаимосвязь показателей ВП, промежуточный продукт, ВВП…. Балансовой модели Леонтьева.

Система уравнений в модели Леонтьева называется продуктивной, если она разрешима. ответ:в неотрицательных Xi>0, при i=1÷n.

Согласно классической модели рыночной экономики предложение товара определяется: уровнем полной занятости.

Согласно классической модели рыночной экономики при одном и том же ВВП увеличение предложения денег приведет к… Увеличению цены единица ВВП.

Согласно модели Солоу «золотое» правило накопления соответствует норме накопления равной α- коэффициенту эластичности для физического капитала. фи=1.

Согласно модели Харрорда-Домара при каком…..r прироста объёма потребления он будет равен темпу прироста дохода: ОТВЕТ: r < 1/в, r=p .

Согласно модели Харрорда-Домара при каком…..r прироста объёма потребления он будет равен темпу прироста дохода: ОТВЕТ: если r =р0, р0 = а0 /В, а0 – это норма накопления в начальный момент времени.

Согласно статической модели Леонтьева, если конечный продукт первой отрасли y1=1000ед, а валовой выпуск x1=2500ед чему равен объем продукции первой отрасли, потребленный другими отраслями 1,5.(1500 или 3500).

Согласно статической модели Леонтьева, если конечный продукт первой отрасли y1=1500ед, а валовой выпуск x1=3500ед чему равен объем продукции первой отрасли, потребленный другими отраслями 2000ед .

Статическая модель Леонтьева включает уравнения вида…. .

Условно чистая п родукция в межотраслевом балансе включает в себя… Амортизация, оплату труда и чистый доход.

Функция полезности потребления имеет вид .Цена на благо х равна 10, на благо y равна 5, доход потребителя равен 200.Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид.: 10,20.

Функция полезности потребления имеет вид .Цена на благо х равна 5, на благо y равна 10, доход потребителя равен 200.Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид.. . 20,10.(200или400)

Функция полезности потребителя обладает свойствами… предельная полезность уменьшается,если объем потребления уменьшается; возрастание потребления одного продукта ведет к росту ф-ии полезности; (предельная полезность каждого продукта увел.если растет кол-во др-го продукта).

Цена реализации одного изделия равна 7ед. Постоян.издержки равны 8000ед. Перемен.издержки равны 5ед. на 1шт. Чему равен безубыточный объем производства: 4000ед.

Чему равен в модели Кейнса спрос на облигации, если предложение денег =1000 ед. , скорость оборота денег на реальном рынке k=0,1, цена единицы ВВП- p=0,5 ед, величина ВВП – 10000 ед…500.

Чему равен в модели Кейнса спрос на облигации, если предложение денег =1000 ед. , скорость оборота денег на реальном рынке k=0,1, цена единицы ВВП- p=0,2 ед, величина ВВП – 10000 ед…800.

Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x , у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x 0 , у=у 0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совме­стное решение системы

даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся сов­местным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что она - декартова прямоугольная.

157. Даны точки *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Установить, какие изданных точек лежат на линии, определённой уравнением х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

158. На линии, определённой уравнением х 2 +y 2 =25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями (построить их на чертеже):

1) х - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4) x + 3 = 0;

5) у - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8 xy +15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у = |x |; 18) х = |у |; 19) y + |x |=0;

20) х + |у |= 0; 21) у = |х- 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х 2 + у 2 = 16;

24) (x -2) 2 +(y -1) 2 =16; 25) (x + 5) 2 +(y - 1) 2 = 9;

26) (х - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) х 2 + 2y 2 = 0; 30) 2 х 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160.Даны линии:

1) х + у = 0; 2) х - у = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x ==0; 5) x 2 +y 2 + 4x -6y -1 =0.

Определить, какие из них проходят через начало координат.

161.Даны линии:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25;

3) (x + 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 + y 2 - 12х + 16у = 0; 6) x 2 + y 2 - 2х + 8у + 7 = 0;

7) x 2 + y 2 - 6х + 4у + 12 = 0.

Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162.Найти точки пересечения двух линий;

1) х 2 +у 2 = 8, х-у = 0;

2) х 2 +у 2 -16x +4у +18 = 0, х + у = 0;

3) х 2 +у 2 -2x +4у -3 = 0, х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 +у 2 -8x +10у+40 = 0, х 2 + у 2 = 4.

163. В полярной системе координат даны точки

М 1 (1; ), М 2 (2; 0), М 3 (2; )

М 4 (
;) и М 5 (1; )

Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах  = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)

164. На линии, определённой уравнением  = , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) ,б) -, в) 0,г) . Какая линия определена данным уравнением?

(Построить её на чертеже.)

165.На линии, определённой уравнением  = , найти точки,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в)
. Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)

166.Установить, какие линии определяются в полярных коор­динатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167.Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = -.

169. Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:

,
.

170.Определить длины отрезков, на которые рассекает спиральАрхимеда

луч, выходящий из полюса и наклонённый к полярной оси под углом
. Сделать чертёж.

171. На спирали Архимеда
взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С, Сделать чертёж.

172. На гиперболической спирали
найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертёж.

173. На логарифмической спирали
найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертёж.

Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0 , связывающее переменные величины x и у . Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у . Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством . Примеры тождеств: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0, (х + у)(х - у) - х 2 + у 2 = 0.

Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии α (в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии α , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.

Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида

F (P, φ) = 0 , содержащим полярные координаты.

• уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ . Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α , на который нужно повернуть ось ОХ , чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К .

Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ , которой она отсекает на оси ОУ .

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0 , то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.

• уравнение прямой, проходящей через две точки;

Если у 1 = у 2 , то уравнение искомой прямой имеет вид у = у 1 . В этом случае прямая параллельна оси ОХ . Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 и М 2 , параллельна оси ОУ , ее уравнение имеет вид х = х 1 .

• уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В ≠ 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b , т.е. уравнением вида (5), где

A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.

Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = - α. Тем самым доказано первое утверждение.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В ≠ 0 .

Если В ≠ 0 , то (5) можно записать в виде . Пологая , получаем уравнение у = kx + b , т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.

Если В = 0 , то А ≠ 0 и (5) принимает вид . Обозначая через α, получаем

х = α , т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.

1) С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2) В = 0 (А ≠ 0) ; уравнение Ах + С = 0 Оу.

3) А = 0 (В ≠ 0) ; Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

• нормальное уравнение прямой;

Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)

ее нормальное уравнение.

Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А 1х + В 1у + С 1 = 0 и

А 2х + В 2у + С 2 = 0 => ) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МА х + МВ у + МС = 0 , совпадающее с уравнением (7) т.е.

МА = cos α, MB = sin α, MC = - P (8)

Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:

М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения

Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические , параметрические , трансцендентные , функциональные , дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение , квадратное уравнение , кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени . Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы . Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал , в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

См. также

Литература

• Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. - 2004. - № 1.
• Каплан Я. В. Рівняння. - Киев: Радянська школа, 1968.
• Уравнение - статья из Большой советской энциклопедии
• Уравнения // Энциклопедия Кольера. - Открытое общество. 2000.
• Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
• Уравнение // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985.

Ссылки

• EqWorld - Мир математических уравнений - содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Антонимы :

• Хаджимба, Рауль Джумкович
• ЕС ЭВМ

Смотреть что такое "Уравнение" в других словарях:

УРАВНЕНИЕ - (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения… … Большая политехническая энциклопедия

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, уравнения, ср. 1. Действие по гл. уравнять уравнивать и состояние по гл. уравняться уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке;… … Толковый словарь Ушакова

УРАВНЕНИЕ - (equation) Требование того, чтобы математическое выражение принимало определенное значение. Например, квадратное уравнение записывается в виде: ах2+bх+с=0. Решением является такие значения х, при котором данное уравнение становится тождеством. В… … Экономический словарь

УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны,… … Большой Энциклопедический словарь

УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить … Современная энциклопедия