Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.

Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:

\[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр;

\[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить "контрольные" значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]

По правилу модуля \ выразим \

Ответ: \ где \

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр “равен в правах” с переменной, то ему, естественно, можно “выделить” и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – “метод областей”. Наряду с другими методами, применяемыми при решении задач с параметрами, я знакомлю своих учеников и с графическими приёмами, обращая внимание на то, как распознать “такие” задачи и как выглядит процесс решения задачи.

Самые общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:

Задача 1. “При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?”

Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения:

2). Запишем все системы получившихся неравенств:

а)

б) в)

г)

3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств (рис.1а).

4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол.

На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если . Ответ: при .

Рассмотренный пример представляет собой “открытую задачу” - можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены.

Задача. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? Ответ: при .

Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения.

Ответ: , тогда , ;

Тогда ; , тогда , .

Задача. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень. Ответ: при при .

Задача. Решите неравенство .

(“Работают” точки, лежащие внутри парабол).

, ; , решений нет;

Задача 2.Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1.

Решение. Перепишем исходную систему в таком виде

Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами и (рис 1).

Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при . Ответ: ; .

Задача 3.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек.

Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:

, ,

(1)

Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

(рис. 2).

Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале Это возможно при , т.е. при . Ответ: .

Задача 4.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.

Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и .

, ,

; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3).

1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию.

2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда . Ответ: .

Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.

Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:

, ,

, .

Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4).

а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4.

б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: . Ответ: .

Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.

Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение:

, . Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5).

Очевидно, что условие задачи выполняется, если . Ответ: .

Задача 7. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.

Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра:

2). Перепишем неравенство в виде

, ,

(1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

1)

2)

С учётом ОДЗ решения систем выглядят так:

а) б)

(рис. 6).

а) б)

Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Ответ: .

Задача 8. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные

не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Решение. I. Найдём все решения неравенства

а). ОДЗ:
, т.е.

(учли в решении, что функция возрастает на ).

б). На ОДЗ неравенство равносильно неравенству , т.е. , что даёт:

1).

2).

Очевидно, решением неравенства служит множество значений .

II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком (рис. 8 , где - первый член, - второй и т.д.). Заметим, что:

Или имеем систему линейных неравенств:

решим её графическим способом. Строим прямые и , а также прямые

То, .. Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии.