Презентация усеченный конус площадь боковой поверхности. Презентация на тему "усеченный конус". Подобные цилиндры и конусы

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Усеченный конус. МОУ СОШ №46 гПетрозаводск

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса? 8 ?

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса. 8 ?

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36 ?

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство: Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Доказательство: Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца. Замечание:

Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции. ?

Задача. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение. Решение:

1) Вычислим радиус большего основания. Решение:

2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса. Решение:

3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса. Решение: ~

4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов. Решение:

Формула объема усеченного конуса. Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов. Доказательство:

Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников. Доказательство: ~

Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований. Доказательство: ~

Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса. Доказательство:

Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований. 149 π ?

Подобные цилиндры и конусы. Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому? ?

Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.

В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение? ? 2

Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса. Задача.

Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса. Решение:

1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений. Решение:

2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы. Решение: V – объем наибольшего конуса

3) Определим, какую часть от объема полного конуса составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение объемов этих конусов. Решение: Ответ: V 1:V 2:V 3 = 127: 168: 217

Конус

Белоброва Татьян а Валерьевна

Учитель математики высшей категории

МКОУ СОШ №1 г.Сим

Челябинской области

Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания

Конус называется прямым , если его высота падает в центр основания

Если высота конуса не падает в центр основания, то конус называется наклонным

Элементы конуса

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.

При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса.

Эта прямая так и называется – осью конуса

СЕЧЕНИЯ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания

Осевое сечение

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Сечение конуса плоскостью, не параллельной основанию

l=R

L =2 π r

Развертка боковой поверхности конуса – сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги его равна длине окружности основания конуса, т.е. 2 π R

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки

l=R

S БОК . = π rl

L =2 π r

ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Площадью полной поверхности

конуса называется сумма

площадей боковой поверхности

и основания

l=R

L =2 π r

S БОК + S кр . = π rl + π r 2

S кон. = π r· ( l + r )

Усеченным конусом

называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию

Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Цели урока:

Проверить и систематизировать знания учащихся по теме «Конус»
Ввести понятие усечённого конуса, его элементов, вывести формулы для вычисления площади боковой о полной поверхности усечённого конуса.
Рассмотреть решение задач по теме «Конус. Усечённый конус», учить учащихся решать задачи по данной теме.

Оборудование:

Карточки для опроса
Карточки для решения задач (ЕГЭ – 8 задание)
Компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации)
Модели конуса и усечённого конуса
Система Votum

Ход урока

I. Актуализация знаний (Слайд 1, презентация)

Учитель: В ходе изучения темы «Конус» мы уже познакомились с целым рядом интересных и полезных фактов. В частности, это определения конуса и его элементов, формулы для нахождения боковой и полной поверхности конуса, рассмотрели примеры «Конусы вокруг нас» (Слайд 2, презентация). Коротко повторим эти факты.

II. Повторение

1. Фронтальный опрос (Модель конуса и слайд 3,4, презентация)

Закончите предложение:

Конус – это… (тело, которое ограничено конической поверхностью
и кругом в основании) (Слайд3, презентация)
(Слайд 4, презентация)

Ось симметрии конуса
Образующие
Вершина конуса
Боковая поверхность
Основание конуса
Радиус конуса

3. Тест в системе Votum или с помощью презентации (Слайды 5-13, презентация) (Приложение 2)

5. Решение задач ЕГЭ - 8 задание 2012 год (Слайд 15, 16, презентация) - устно

Задача 1 . Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.

Задача 2 . Образующая конуса 10 см, а диаметр основания 12 см. Найдите высоту конуса.

6. Решение задач по карточкам (Приложение 3)

Задача (1 группа – решаем на интерактивной доске)

Образующая конуса равна 15 см, радиус его основания 12 см. Через его вершину и хорду основания, равную 18 см, проведено сечение. Найдите высоту конуса, площадь сечения.

Задача (2 группа – самостоятельное решение на оценку по заданному алгоритму), (Приложение 4)

Через две образующие конуса проведено сечение, его основание равно 16 см. Радиус основания конуса 10 см. Угол между плоскостями сечения и основания 60º. Найдите высоту конуса, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения; площадь полной поверхности конуса.

8. Подготовка к восприятию нового материала

Назовите, что было сечением в наших задачах?
Какие ещё фигуры могут получиться при пересечении конуса плоскостью?
Что получится, если мы разрежем конус на части по плоскости сечения, проведенной параллельно основанию?

9. Задача (Устно)

Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания 14см и 8 см, а высота 4 см. Слайд 18, презентация

III . Новый материал (Модели конуса, усечённого конуса, слайды 19 – 22, презентация)

1. Определение усечённого конуса (Слайд 19, презентация)

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

2. Осевое сечение конуса (Слайд 19, презентация)

Осевое сечение усечённого конуса - равнобедренная трапеция

3. Элементы усечённого конуса (Слайд 20, презентация)

4. Определение образующей усечённого конуса (Слайд 21, презентация)

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.

5. Определение высоты усечённого конуса (Слайд 21, презентация)

6. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

7. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

8. Как можно получить усечённый конус?

Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD (Слайд 22, презентация)

IV . Закрепление

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36 ?

Слайд 9

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Слайд 10

Доказательство:

Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Слайд 11

Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Задача.

Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

Слайд 15

Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение. Решение:

Слайд 16

1) Вычислим радиус большего основания. Решение:

Слайд 17

2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса. Решение:

Слайд 18

3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса. Решение: ~

Слайд 19

Слайд 20

Формула объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

Слайд 21

Доказательство:

Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов.

Слайд 22

Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников. Доказательство: ~

Слайд 23

Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований. Доказательство: ~

Слайд 24

Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса. Доказательство:

Слайд 25

Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований. 149π ?

Слайд 26

Подобные цилиндры и конусы.

Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

Слайд 27

Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

Слайд 28

«Урок Объём цилиндра» - 0. Осевое сечение - ……………. У. «Вычисление объёма цилиндра». D1. A1. B. D. R. Любые осевые сечения цилиндра ….. между собой. Прямой цилиндр.

«Объём цилиндра» - Объём усечённого конуса. Башня в Гёреме (Иран) Туманность конуса. Цилиндр: история. Цилиндры из жизни. Ведро – пример усечённого конуса. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объём цилиндра Объём конуса. Конус: история. Тела вращения. Цилиндры-башни. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

«Цилиндр конус шар» - Виды тел вращения. Завершить работу. Сечение конуса. Тела вращения. Площади поверхностей тел вращения. Объёмы и поверхности тел вращения. Объёмы тел вращения. Сечения шара. Шаровой сектор. Объём шарового сегмента. Определение конуса. Определение шара. Доказательство. Объема сегмента. Объём сектора V=2/3ПR2H.

«Цилиндр» - Ось цилиндра. Основания цилиндра. А. Цилиндрическая поверхность. Образующие цилиндра параллельны друг другу. Радиус цилиндра. В.

«Цилиндр геометрия 11 класс» - 4.Сечения цилиндра. 4. Тема: Цилиндр. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 4. Радиус основания. 1.Примеры цилиндров. 2. Осевое сечение. 1. Геометрия 11 класс. 1. Основание цилиндра. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр. Теоретический материал Задачи. 2. Образующие. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку.

«Поверхность цилиндра» - L1. L. A. Shevchenko R. Trushenkov. Осевое сечение. Ось цилиндра. Основания цилиндра. «Понятие цилиндра». Algebra & Geometria Entertainment. Film by: Образующие.

Всего в теме 35 презентаций