Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости, и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и. Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,- расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки ипротивоположны).

43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.

Канонические уравнения:

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору. Заметим, что точкалежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:

Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство.

Общие уравнения:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей

Параметрические:

Откладывая от точки векторыдля различных значений, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенстваследует:

Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметрпробегает все действительные числа отдо, соответствующая точкапробегает всю прямую.

44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств

Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.

Линейное , иливекторное пространство надполемP - этонепустое множествоL , на котором введеныоперации

сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемыйи

умножения на скаляр(то есть элемент поляP ), то есть любому элементу и любому элементуставится в соответствие элемент из, обозначаемый.

При этом на операции накладываются следующие условия:

Для любых (коммутативность сложения );

Для любых (ассоциативность сложения );

существует такой элемент , чтодля любого(существование нейтрального элемента относительно сложения ), в частности L не пусто;

для любого существует такой элемент, что(существование противоположного элемента ).

(ассоциативность умножения на скаляр );

(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор ).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров );

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов ).

Элементы множества L называютвекторами , а элементы поляP -скалярами . Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группойпо сложению.

Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

Для любого противоположный элементявляется единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

для любых и.

для любого .

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.

45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом(базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме

п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

Пусть – базиспространстваи– два его произвольных вектора. Пустьи–записьэтихвектороввкоординатнойформе. Пусть, далее,– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатнойформе.)

Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю

№_____ Дата 02.10.14

Предмет Геометрия

Класс 10

Тема урока: Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей

Цели урока: познакомить с понятием параллельности плоскостей, изучить признак параллельности плоскости и свойства параллельных плоскостей

Тип урока: изучения нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Формирование новых понятий и способов действия.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек, т.е. если α = α (рис. 20).

Теорема 1. Через точку, не лежащую в плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Доказательство. Пусть даны плоскость а и точка А, А а . В плоскости а возьмем две пересекающиеся прямые а и b : а , b , а = В (рис.21.) Тогда по теореме 1 (§2, п.2.1.) через точку А можно провести прямые а 1 и b 1 такие, что а 1 || а и b 1 || b Отсюда по аксиоме CIII существует единственная плоскость , проходящая через пересекающиеся прямые а 1 и b 1 . Теперь остается показать, что α , т.е. α = .

Пусть это не так, т.е. плоскости пересекаются по прямой с. Тогда по меньшей мере одна из прямых а или b не параллельна прямой с. Для определенности положим, что а с и а с = С.

Следовательно, a 1 с и также, как при доказательстве теоремы 2 из §2, имеем a 1 с= С, т.е. а 1 а = С.

Это противоречит тому, что а, || а . Поэтому α = α . Теорема доказана.

Теорема 2. Если пересечь две параллельные плоскости третьей плоскостью, то прямые их пересечения будут параллельными, т.е α , а = α , b = => а || b (рис. 22 ).

Итак, две плоскости в пространстве могут взаимно располагаться в двух вариантах:

плоскости пересекаются по прямой;

плоскости параллельны.

Признак параллельности плоскостей

Теорема 3. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, ограниченных параллельными плоскостями, равны, между собой.

3. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного. Стр 24 №87,88,89,90(1)

4.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.стр.22 п3 №90(2)

5.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

6.Этап рефлексии.

Лекция № 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей

1. Взаимное расположение двух плоскостей

Для двух плоскостей возможны следующие варианты взаимного расположения: они параллельны или пересекаются по прямой линии.

Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это условие называют признаком параллельности плоскостей .

Если две плоскости являются параллельными, то они пересекают какую-то третью плоскость по параллельным прямым. Исходя из этого у параллельных плоскостей Р и Q их следы являются параллельными прямыми (рис. 50).

В случае, когда две плоскости Р и Q параллельны оси х , их горизонтальные и фронтальные следы при произвольном взаимном расположении плоскостей будут параллельными оси х, т. е. взаимно параллельными. Следовательно, при таких условиях параллельность следов является достаточным признаком, характеризующим параллельность самих плоскостей. Для параллельности подобных плоскостей нужно убедиться в параллельности и профильных их следов P w и Q w . Плоскости Р и Q на рисунке 51 параллельны, а на рисунке 52 они не параллельны, несмотря на то что P v || Q v , и P h у || Q h .

В случае, когда плоскости параллельны, горизонтали одной плоскости параллельны горизонталям другой. Фронтали одной плоскости при этом должны быть параллельными фронталям другой, так как у этих плоскостей параллельны одноименные следы.

Для того чтобы построить две плоскости, пересекающиеся между собой, необходимо найти прямую, по которой пересекаются две плоскости. Для построения этой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей.

Иногда, когда плоскость задана следами, найти данные точки легко с помощью эпюра и без дополнительных построений. Здесь известно направление определяемой прямой, и ее построение основывается на использовании одной точки на эпюре.

Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.

Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости. Прямая является параллельной плоскости, когда она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р , так как она параллельна прямой MN , которая лежит в этой плоскости.

Когда прямая параллельна плоскости Р , в этой плоскости через какую-либо ее точку можно провести прямую, параллельную данной прямой. Например, на рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р . Если через точку М , принадлежащую плоскости Р , провести прямую NM , параллельную АВ , то она будет лежать в плоскости Р . На том же рисунке прямая CD не параллельна плоскости Р , потому что прямая KL , которая параллельна CD и проходит через точку К на плоскости Р , не лежит в данной плоскости.

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо построить линии пересечения двух плоскостей. Рассмотрим прямую I и плоскость Р (рис. 54).

Рассмотрим построение точки пересечения плоскостей.

Через некоторую прямую I необходимо провести вспомогательную плоскость Q (проецирующую). Линия II определяется как пересечение плоскостей Р и Q . Точка К, которую и требуется построить, находится в пересечение прямых I и II. В этой точке прямая I пересекает плоскость Р .

В данном построении основным моментом решения является проведение вспомогательной плоскости Q , проходящей через данную прямую. Можно провести вспомогательную плоскость общего положения. Однако показать на эпюре проецирующую плоскость, используя данную прямую, проще, чем провести плоскость общего положения. При этом через любую прямую можно провести проецирующую плоскость. На основании этого вспомогательная плоскость выбирается проецирующей.

Прямая и плоскость перпендикулярны, если на плоскости можно найти две пересекающиеся прямые, перпендикулярные исходной прямой. В качестве подобной пары контрольных прямых легче всего рассматривать следы плоскости P h и P v (рис. 55). Это вызвано тем, что прямой угол между перпендикуляром к плоскости и следом P h дает проекцию на горизонтальную плоскость без искажения, а угол между перпендикуляром и следом Р v проецируется на фронтальную плоскость V .

Итак, признак перпендикулярности можно задать, используя прямую и плоскость на эпюре.

Прямая является перпендикулярной плоскости, когда проекции прямой перпендикулярны одноименным следам плоскости.

Не меньше 1, так хотя бы 1 элемент отличен от нуля. Пусть 1 и 2 пересекаются они имеют общую линию они имеют общую систему они не параллельны, а так они совместны, значит . Пусть 1 и 2 параллельны: , . Если декартовая система координат, то - нормальные вектора. Косинус угла между двумя векторами:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей:

Или

20. Различные способы задания прямой в пространстве. Прямая и плоскость. 2 прямые в пространстве. Угол между двумя прямыми. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, где коэффициенты A 1 ,B 1 ,C 1 и A 2 ,B 2 ,C 2 не пропорциональны: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0.Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.Составим уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) параллельно вектору a ={l,m,n}.Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором .Для любой точки М(x,y,z ), лежащей на данной прямой, вектор М 0 М = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0 ) коллинеарен направляющему вектору а . Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М 1 (х 1 , у 1 , z 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М 1 М 2 = {x 2 – x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 }, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки . Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях за некоторый параметр t , можно получить так называемые параметрические уравнения прямой :

. Для того, чтобы перейти от уравнений к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n 1 n 2 ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений, выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и
косинус угла между ними можно найти по формуле:

. Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых ,

- условие перпендикулярности прямых . Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а : Al + Bm + Cn = 0, а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.

21. каноническое уравнение эллипса. Свойства. называется линия, кото­рая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, при условии a≥b>0. Из уравнения следует, что для всех точек эллипса │x│≤ a и │у│≤ b. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответ­ственно большой и малой полу­оси. С1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы - его центром симметрии.Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: х 2 +у 2 =а 2 . При каждом х таком, что I х I < а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства. Гиперболой мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат определя­ется каноническим уравнением x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы │x│≥a, т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а. Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, 0) и (-а, 0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.C1. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = кх, поскольку мы уже знаем, что прямая х= 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1. Поэтому, если b 2 – a 2 k 2 >0, то x = ± ab / √b 2 – a 2 k 2 . Это позволяет указать координат точек пересечения (аb/u, аbк/u) и (-аb/и,-аbк/u),где обозначено u = (b 2 - а 2 к 2) 1/2 .

Прямые с уравнениями у = Ьх/а и у = -bх/а в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. C2. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно а 2 b 2 /(а 2 + b 2). C3. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Введем число с, положив с 2 =а 2 +b 2 и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки F 1 u F 2 c координатами (c, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентри­ситетом. У гиперболы е > 1. C4. Расстояния от произвольной точки М (х, у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M│=│a+ex│. C5. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее рас­стояний до фокусов по абсолютной величине равнялась ве­щественной оси гиперболы 2а. Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями x=a/ , x=-a/ . C6. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету . Уравнение касательной к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0), лежа­щей на ней имеет вид: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. Касательная к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0) есть биссектриса угла между отрезками, соединяю­щими эту точку с фокусами.

23. Каноническое уравнение параболы. Свойства. мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат опреде­ляется каноническим уравнением y 2 =2рх, при условии р > 0. Из уравнения вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/ 2, 0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х=-р/2 в канонической системе координат. C1. Расстояние от точки М (х, у), лежа­щей на параболе, до фокуса равно r=x+p/2. C2. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одина­ково удалена от фокуса и от директрисы, этой параболы. Параболе приписывается эксцентриситет е = 1. В силу этого соглашения формула r/d=e верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке М 0 (х 0 ,y 0), лежащей на ней, имеет вид yy 0 = p(x+x 0). C3 Касательная к параболе в точке М о есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет М о с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

24. Алгебраические линии. Задать алгебраические линии на плоскость,значит некоторое алгебраическое ур-ие вида F(x,y)=0 и некоторая аффинная система координат окружности на плоскости, тогда те и только те M(x,y),координаты которых удовлетворяют уравнению,считают лежами на данном уравнении.Аналогично задаются уравнения для поверхности в пространстве.Задать алгебр.ур-ие вида F(x,y,z)=0(z) с 3 переменными и некоторую систему координат OXYZтолько те и те точки F(x,y,z)=0(z) являются уравнением плоскости. При этом мы считаем, что два ур-ия определяют одну и туже линию или поверхность т. и т. т.,когда одно из этих ур-ий получается из другого умножением на некоторый числовой множитель лямбда 0.

25. Понятие алгебраической поверхности. Изучениепроизвольных множеств точек-задача совершенно необъятная.Опр.Алгебраической поверхностью называется множество точек,которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида +…+ =0,где все показатели степени-целые неотрицательные числа.Наибольшая из сумм(разумеется,здесь имеется в виду наибольшая из сумм,фактически входящих в уравнение,т.е.предполагается,что после приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым коэффициентом,имеющее такую сумму показателей.) + + ,…., + + называется степенью уравнения,а также порядком алгебраической поверхности.Это определение означает,в частности,что сфера,уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид ( +( +( = ,является алгебраической поверхностью второго порядка.Теорема.Алгебраическая поверхность порядка p в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида +…+ =0 порядка p.

26. Цилиндрические поверхности 2-го порядка. Пусть плоскость П дана некоторая прямая 2-го порядка и связка параллельных прямых d таких, что для любого d не параллельного П, тогда множество φ всех точек пространства принадлежащих тем прямым связки, которые пересекают линию γ называется направляющими, а прямые пересекающие φ – образующие. Выведем уравнение цилиндрической поверхности, относительно аффинной системы координат. Пусть в некоторой плоскости П лежит некоторая К, уравнение которой F(x,y)=0, в имеет направление а(а 1 а 2 а 3) d параллелен а. Точка М(x,y,z) лежит на какой-то образующей, а N(x’y’o) – точка пересечения этой образующей с плоскостью П. Вектор MN будет коллинеарен с ta следовательно MN=ta , x’=x+a 1 t ; y’=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t следовательно t= -z/a 3 , тогда x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y’=y- (a 2 z)/a 3 F(x’y’)=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . Теперь ясно, что уравнение F(x,y)=0 есть уравнение цилиндра с образующими параллельными оси Оy, а F(y,z)=0 с образующими параллельными оси Ох. Частный случай: Пусть прямая связки а параллельна (о,z) следовательно а 1 =0 а 2 =0 а 3 ≠0 F(x,y)=0, поэтому сколько линий второго порядка, столько и цилиндров. Поверхности: 1. Эллиптический цилиндр x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. Гиперболический цилиндр x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Параболический цилиндр y 2 =2πx 4. Пара пересекающихся плоскостей x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. Пара параллельных плоскостей x 2 /a 2 =1

27. Канонические поверхности 2-го порядка. Поверхность, на которой имеется точка М о, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М о ≠M содержит прямую (М о М), такая поверхность называется канонической или конусом. М о – вершина конуса, а прямые – ее образующие. Функция F(x,y,z)=0 называется однородной, если F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), где φ(t) – функция от t. Теорема. Если F(x,y,z) однородная функция, то поверхность, определяемая этим уравнением есть каноническая поверхность с вершиной в начале координат. Док-во. Пусть задана аффинная система координат и от нее задано каноническое уравнение с центром F(x,y,z)=0. Рассмотрим уравнение с вершиной в точке O M(x,y,z)=0, тогда всякая точка OM из F будет иметь вид M 1 (tx,ty,tz) на канонической поверхности. M o M(x,y,z), раз удовлетворяет поверхности, то F(tx,ty,tz)=0 функция однородная φ(t) F(x,y,z)=0 следовательно поверхность каноническая. Кривые 2-го порядка явл сечениями в конечной поверхности плоскостей x 2 +y 2 -z 2 =0/ При сечении канонических поверхностей плоскостями получаем в сечении следующие линии: а) плоскость проходящую через точку или пара слившихся прямых и пара пересекающихся прямых. Б) плоскость не проходит через вершину конуса следовательно получаем в сечении либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу.

28. Поверхности вращения. Пусть в 3-мерном пространстве дан декартовый репер. Плоскость П проходит через Oz, в плоскости Ozy задана γ и угол xOy=φ γ имеет вид u=f(z). Возьмем точку M из γ относительно репера Oxyz. γ – описанная окружность γМ по всем точкам М из γ называется отображением. Сечением поверхности вращения плоскости, проходящей через ось вращения называется меридианом. Сечением поверхности вращения плоскости перпендикулярной оси вращения называется параллельной. Уравнение поверхности вращения x 2 +y 2 =f 2 (z) – уравнение поверхности вращения. 1) Если угол φ=0, то γ лежит в плоскости xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ лежит в плоскости xOy и уравнение ее y=g(x), тогда y 2 +z 2 =g 2 (x) 3) γ лежит в плоскости yOz и уравнение ее z=h(y), тогда z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Эллипсоиды. Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор е 3 сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим ур-я эллипса в следующих видах: . В силу формулы ур-я соответствующих поверхностей вращения будут = 1 (a>c). Поверхности с такими ур-ями называются сжатым (а) и втянутым (б) эллипсоидами вращения.

Каждую точку М (x, y, z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y=0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшалось в постоянном для всех точек отношении λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. Гиперболоиды. Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 48) . В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 мы получаем однополостный гиперболоид с ур-ем . Интересное св-во однополостного гиперболоида – наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однопол гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, ур-я которых можно получить следующим образом. Ур-е (8) можно переписать в виде . Рассмотрим прямую линию с ур-ями μ =λ , λ =μ (9), где λ и μ – некоторые числа (λ 2 +μ 2 ≠0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим ур-ям, а следовательно и ур-ю (8), которое получается почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были λ и μ прямая с ур-ями (9) лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определяет семейство прямолинейных образующих. Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. Пр и сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем ур-е двуполостного гиперболоида вращения В результате сжатия этой поверхности к плоскости y=0 получается поверхность с ур-ем (12). Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет ур-е вида (12), называет двуполостным гиперболоидом (рис. 49). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

31. Параболоиды. Эллиптический параболоид. Вращая параболу x 2 =2pz вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с ур-ем x 2 +y 2 =2pz. Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y=0 переводит параболоид вращения в поверхность, ур-е которой приводится к виду 2z (14). Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом. Гиперболический параболоид. По аналогии с ур-ем (14) мы можем написать ур-е Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом. Из канонического уравнения z= x 2 /a 2 - y 2 /b 2 гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Оz называется осью гипер­болического параболоида.. Линии z=h пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z=h представляют собой при h > 0 гиперболы x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√h, b * =b√h , а при h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида z = х + iу, где х и у - действительные числа, i - мнимая единица. Число х называется действительной частью числа z и обозначается Rе(z), а число у - мнимой частью числа z и обозначается Im(z). Числа z = х + iу и z = х - iу называются сопряженными. Два комплексных числа z 1 = х 1 + iу 1 и z 2 = х 2 + iу 2 назы­ваются равными, если равны их действительные и мнимые части. В частности i 2 =-1. Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом. 1. Сложение: z 1+ z 2 =x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2); 2.Вычитание: z 1 -z 2 =x 1 -x 2 +i(y 1 -y 2); 3.Умножение: z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1); Деление: z 1 /z 2 =((x 1 x 2 +y 1 y 2)+i(x 2 y 1 - x 1 y 2))/x 2 2 +y 2 2 . Для представления к.ч. служат точки коорди­натной плоскости Оху. Плоскость называет­ся комплексной, если каждому к.ч. z = х + iу ставит­ся в соответствие точка плоскости z(х, у), при­чем это соответствие взаимно однозначное. Оси Ох и Оу, на кото­рых расположены дей­ствительные числа z=x+0i=x и чисто мнимые числа z=0+iy=iy, называются соответсвенно действительной и мнимой осями

33. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj). Особенности тригонометрической формы: 1)первый множитель неотрицательное число, r³0; 2)записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на sinj. Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: z=re i j . Где e i j - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: z= n =r n (cosnj+isin nj), где r - модуль, а j - аргумент комплексного числа.

34. Операции над многочленами. Алгоритм Евклида. Общий вид уравнения n-ой степени: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Определяется набор коэффициентов. (а 0 ,а 1 ,…,a n -1, a n)-произвольные комплексные числа. Рассмотрим левую часть (1): a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -многочлены n-ой степени. Два многочлена f(x) и g(x) будим считать равными или тождественно равными, если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Любой многочлен определяется набором коэффициентов.

Определим операции сложения и умножения над многочленами: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i если i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 =a 0 b 0 ; d 1 =a 0 b 1 +a 0 b 1 ; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 . Степень произведения многочленов равна сумме и операции обладают свойствами: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k +b k)+c k =a k +(b k +c k); 3) . Многочлен f(x) называется обратным (x), если f(x)* (x)=1. Во множестве многочленов операция деления не возможна. В Евклидовом пространстве для многочлена существует алгоритм деления с остатком. f(x) и g(x) существуют r(x) и q(x) определены однозначно. ; ; f(x)=g(x); ; . Степень правой части £ степени g(x) , а степень левой части отсюда отсюда – мы пришли к противоречию. Доказываем первую часть теоремы: . Домножим g(x ) на такой многочлен, чтобы старшие коэффициенты умножались.

После k шагов.

; ; имеет меньшую степень q(x ). Многочлен q(x )- частное от f(x), a r(x ) –остаток от деления. Если f(x) и g(x) имеют действительные коэффициенты, то q(x) и r(x) – тоже действительные.

35.Делитель многочленов. НОД. Пусть даны два ненулевых многочлена f(x) и j(x)с комплексными коэффициентами. Если остаток равен нулю, то говорят, что f(x) делится на j(x), если j(x) является делителем f(x). Cв-ва многочлена j(x): 1)Многочлен j(x) будет делителем f(x), если существует Y(х) и f(x)= j(x)* Y(х) (1). j(x)-делитель, Y(х) -частное. Пусть Y(х) удовлетворяет (1), тогда из предыдущей теоремы Y(х) является частным, а остаток равен 0. Если(1) выполняется, то j(x)-делитель, отсюда j(x)<= степени f(x). Основные св-ва делимости многочлена: 1) ; 2 f(x) и g(x) делятся на j(х), то делятся на j(x); 3)если ; 4)если f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) если f(x):j(x), то f(x):cj(x); 7)Многочлен cf(x) и только они будут делителями многочлена j(х), имеющие такую же степень, что и f(x); 8)f(x):g(x) и g(x):f(x), то g(x)=cf(x); 9)Всякий делитель одного из f(x) и cf(x), с¹0 будет делителем для другого. Опр-ние: Наибольший общий делитель (НОД). Многочлен j(х) будем называть НОД f(x) и g(x), если он делит каждого из них. Многочлены нулевой степени всегда являются НОД и являются взаимопростыми. НОД отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется d(x), который явл. общим делителем и делится на любой другой делитель и общий этих многочленов. НОД f(x) и g(x)= (f(x):g(x)). Алгоритм нахождения НОД: Пусть степень g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-НОД. Докажем. r k (x) делитель r k -1 (x)®он делитель r k -2 (x)…®он делитель g(x)®делитель f(x). g(x)g 1 (x) делится на r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) делится на r k (x)® r 1 (x) делится на r k (x)® r 2 (x) делится на r k (x)®… q k (x): r k (x) делится на r k (x).