Основы математической статистики. Методы математической статистики Особенности и ограничения методов математической статистики

Организация исследования

3.1.1 Задачи и методы математической статистики

3.1.2 Виды выборки

1.3 Выборочное распределение

1.4 Эмпирическая функция распределения гистограмма

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Введение.

Использованная литература.

Методы математической статистики

Введение.

Основные понятия математической статистики.

Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

Использованная литература.

Методы математической статистики

Введение.

Основные понятия математической статистики.

Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

Использованная литература.

Введение.

Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого реального содержания.

Академик Ю.А. Митропольский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изучаемых явлений. Эти характеристики будут полнее и глубже, если накопленный эмпирический материал подвергнуть количественной обработке. Однако, проблема количественных измерений в рамках психолого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте измерения, находящимся в состоянии непрерывного движения и изменения. Вместе с тем введение в исследование количественных показателей сегодня является необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического труда. Как правило, эти данные могут быть получены как путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагогического процесса, так и посредством количественной оценки соответствующих параметров адекватно построенной его математической модели. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики применяются методы математической статистики. С их помощью решаются различные задачи: обработка фактического материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и другие.

2. Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристику качественно однородной совокупности по определенному количественному признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффективности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы величин на их число и вычисляется по формуле:

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3 ... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

Сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле: Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

– на “отлично” учатся – 5 человек из участвующих в эксперименте;

– на “хорошо” учатся – 18 человек;

– на “удовлетворительно” – 22 человека;

– на “неудовлетворительно” – 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки “хорошо”, то есть медиана больше “удовлетворительно”, но меньше “хорошо” (см. рисунок).

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 – владею свободно – 25

2 – владею в достаточной степени для общения – 54

3 – владею, но испытываю трудности при общении – 253

4 – понимаю с трудом – 173

5 – не владею – 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является – “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна – 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчету дисперсии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения варианты от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг среднего значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем определения: отклонения от среднего значения; квадрата указанного отклонения; суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения (см. табл. 6.1).

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6.1

Пример вычисления дисперсии

Значение показателя	Отклонение от среднего	отклонения
	2 – 3 = – 1

Среднее квадратичное отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя величина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле:

где: – средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (действий) – менее 100 – в значении формулы следует ставить не “N”, а “N – 1”.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основными характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко применяется как мера разброса для различных характеристик.

Оценивая результаты исследования важно определить рассеивание случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распределения вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом, чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэффициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представляющий собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической; мера косости , показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости , которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явлений.

Меры связи между переменными. Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией. Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменными. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

Рассмотрим вычисление значений коэффициентов корреляции на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (исключение из университета) измеряются в дихотомической шкале (частный случай шкалы наименований). Для определения связи используем коэффициент Пирсона.

В тех случаях, когда нет необходимости подсчитывать частоту появления различных значений переменных X и Y, удобно проводить вычисления коэффициента корреляции с помощью таблицы сопряженности (см. табл. 6.2, 6.3, 6.4), показывающей количество совместных появлений пар значений по двум переменным (признакам). А – количество случаев, когда переменная X имеет значение равное нулю, и, одновременно переменная Y имеет значение равное единице; В – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения, равные единице; С – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения равные нулю; D – количество случаев, когда переменная X имеет значение, равное единице, и, одновременно, переменная Y имеет значение, равное нулю.

Таблица 6.2

Общая таблица сопряженности

	Признак X

В общем виде формула коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных имеет вид

Таблица 6.3

Пример данных в дихотомической шкале

Подставим в формулу данные из таблицы сопряженности (см. табл. 6.4), соответствующей рассматриваемому примеру:

Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона для выбранного примера равен 0,32, то есть зависимость между семейным положением студентов и фактами исключения из университета незначительная.

Пример 2. Если обе переменные измеряются в шкалах порядка, то в качестве меры связи используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Rs). Он вычисляется по формуле

где Rs – коэффициент ранговой корреляции Спирмена; Di – разность рангов сравниваемых объектов; N – количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от –1 да + 1. В первом случае между анализируемыми переменными существует однозначная, но противоположено направленная связь (с увеличением значений одной уменьшается значения другой). Во втором – с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина Rs равна нулю или имеет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

В качестве примера вычисления коэффициента Спирмена используем данные из таблицы 6.5.

Таблица 6.5

Данные и промежуточные результаты вычисления значения коэффициента

ранговой корреляции Rs

Качества	Ранги, присвоенные экспертом	Разность рангов	Квадрат разности рангов

			–1 –1 –1
Сумма квадратов разностей рангов Di = 22

Подставим данные примера в формулу для коэффициента Смирмена:

Результаты вычисления позволяют утверждать о наличии достаточно выраженной связи между рассматриваемыми переменными.

Статистическая проверка научной гипотезы. Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния существенно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статистические доказательства не являются столь строгими и окончательными – в них всегда допускается риск ошибиться в выводах и потому статистическими методами не доказывается окончательно правомерность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимуществе того или иного метода и т. п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основная) называется нулевой гипотезой (Н 0), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции. Он (априори) как бы декларирует, что новый (предполагаемый им, его коллегами или оппонентами) метод не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе (Н 1) делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначениями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода (H 2). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

– первый уровень – 5% (в научных текстах пишут иногда р = 5% или а?0,05, если представлено в долях), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

– второй уровень – 1%, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста (а?0,01, при тех же требованиях);

– третий уровень – 0,1%, т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи (а?0,001). Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно не только определить, какая средняя больше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышления на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полученную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистического вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он скорее всего сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспериментальной и контрольной групп и лишь после опровержения нулевой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда – в определении той разницы и границы, после которого можно сказать: да, различия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испытуемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупностям и что уровень подготовленности учащихся, потенциально принадлежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так называемые оценки генеральных параметров .

Рассмотрим на конкретном примере (см. табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить нулевую гипотезу.

Допустим, необходимо определить зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития в учебной группе межличностных отношений. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной – зависимость существует. Для этих целей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспериментальной, а вторая – контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективности в первой и во второй группе существенной (значимой), необходимо вычислить статистическую достоверность этой разницы. Для этого можно использовать t – критерий Стьюдента. Он вычисляется по формуле:

где X 1 и X 2 – среднее арифметическое значение переменных в группах 1 и 2; М 1 и М 2 – величины средних ошибок, которые вычисляются по формуле:

где - средняя квадратическая, вычисляемая по формуле (2).

Определим ошибки для первого ряда (экспериментальная группа) и второго ряда (контрольная группа):

Находим значение t – критерия по формуле:

Вычислив величину t – критерия, требуется по специальной таблице определить уровень статистической значимости различий между средними показателями эффективности деятельности в экспериментальной и контрольной группах. Чем выше значение t – критерия, тем выше значимость различий.

Для этого t расчетное сравниваем с t табличным. Табличное значение выбирается с учетом выбранного уровня достоверности (p = 0,05 или p = 0,01), а также в зависимости от числа степеней свободы, которое находится по формуле:

где U – число степеней свободы; N 1 и N 2 – число замеров в первом и во втором рядах. В нашем примере U = 7 + 7 –2 = 12.

Таблица 6.6

Данные и промежуточные результаты вычисления значимости статистических

Различий средних значений

Для таблицы t – критерия находим, что значение t табл. = 3,055 для однопроцентного уровня (p

Однако педагогу-исследователю следует помнить, что существование статистической значимости разности средних значений является важным, но не единственным аргументом в пользу наличия или отсутствия связи (зависимости) между явлениями или переменными. Поэтому необходимо привлекать и другие аргументы количественного или содержательного обоснования возможной связи.

Многомерные методы анализа данных. Анализ взаимосвязи между большим количеством переменных осуществляется путем использования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов – сделать наглядными скрытые закономерности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между переменными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

– факторный анализ;

– кластерный анализ;

– дисперсионный анализ;

– регрессионный анализ;

– латентно-структурный анализ;

– многомерное шкалирование и другие.

Факторный анализ заключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор – обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т. е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщенных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализ позволяет выделить ведущий признак и иерархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ – статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в тоже время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализ позволяет выявить количественную (численную) зависимость среднего значения изменений результативного признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило данный вид анализа применяется тогда, когда требуется выяснить насколько изменяется средняя величина одного признака при изменении на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализ представляет совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых переменных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними. Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвязей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-психологических и педагогических явлений. Латентный анализ может являться основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалирование обеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемыми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.

3. Статистическая обработка результатов психолого-педагогических

исследований

В любом исследовании всегда важно обеспечить массовость и представительность (репрезентативность) объектов изучения. Для решения этого вопроса обычно прибегают к математическим методам расчета минимальной величины подлежащих исследованию объектов (групп респондентов), чтобы на этом основании можно было сделать объективные выводы.

По степени полноты охвата первичных единиц статистика делит исследования на сплошные, когда изучаются все единицы изучаемого явления, и выборочные, если изучению подвергается только часть интересующей совокупности, взятая по какому-либо признаку. Исследователю не всегда представляется возможность изучить всю совокупность явлений, хотя к этому постоянно следует стремиться (не хватает времени, средств, необходимых условий и т. д.); с другой стороны, часто сплошное исследование просто не требуется, так как выводы будут достаточно точными после изучения определенной части первичных единиц.

Теоретической основой выборочного способа исследования является теория вероятностей и закон больших чисел. Чтобы исследование располагало достаточным количеством фактов, наблюдений, используют таблицу достаточно больших чисел. От исследователя в данном случае требуется установление величины вероятности и величины допускаемой ошибки. Пусть, например, допускаемая ошибка в выводах, которые должны быть сделаны в результате наблюдений, по сравнению с теоретическими предположениями, не должна превышать 0,05 как в положительную, так и в отрицательную стороны (иначе говоря, мы можем ошибиться не более чем в 5 случаев из 100). Тогда по таблице достаточно больших чисел (см. табл. 6.7) находим, что правильное заключение может быть высказано в 9 случаев из 10 тогда, когда число наблюдений будет не менее 270, в 99 случаев из 100 при наличии не менее 663 наблюдений и т. д. Значит, с увеличением точности и вероятности, с которой мы предполагаем сделать выводы, число требуемых наблюдений возрастает. Однако в психолого-педагогическом исследовании оно не должно быть чрезмерно большим. 300–500 наблюдений часто является вполне достаточным для основательных выводов.

Данный способ определения величины выборки является наиболее простым. Математическая статистика располагает и более сложными методами вычисления требуемых выборочных совокупностей, которые подробно освещены в специальной литературе.

Однако соблюдение требований массовости еще не обеспечивает надежности выводов. Они будут достоверны тогда, когда выбранные для наблюдения (бесед, эксперимента и т. д.) единицы являются достаточно представительными для изучаемого класса явлений.

Таблица 6.7

Краткая таблица достаточно больших чисел

Репрезентативность единиц наблюдения обеспечивается прежде всего их случайным выбором с помощью таблиц случайных чисел. Положим, требуется определить 20 учебных групп для проведения массового эксперимента из имеющихся 200. Для этого составляется список всех групп, который нумеруется. Затем из таблицы случайных чисел выписывается 20 номеров, начиная с какого-либо числа, через определенный интервал. Эти 20 случайных чисел по соблюдению номеров определяют те группы, которые нужны исследователю. Случайный выбор объектов из общей (генеральной) совокупности дает основание утверждать, что полученные при исследовании выборочной совокупности единиц результаты не будут резко отличаться от тех, которые имелись бы в случае исследования всей совокупности единиц.

В практике психолого-педагогических исследований применяются не только простые случайные отборы, но и более сложные методы отбора: расслоенный случайный отбор, многоступенчатый отбор и др.

Математические и статистические методы исследования являются также средствами получения нового фактического материала. С этой целью используются приемы шаблонирования, повышающие информативную емкость анкетного вопроса и шкалирования, дающего возможность более точно оценивать действия как исследователя, так и исследуемых.

Шкалы возникли из-за необходимости объективно и точно диагностировать и измерять интенсивность определенных психолого-педагогических явлений. Шкалирование дает возможность упорядочить явления, количественно оценить каждое из них, определить низшую и высшую ступени исследуемого явления.

Так при исследовании познавательных интересов слушателей можно установить их границы: очень большой интерес – очень слабый интерес. Между этими границами ввести ряд ступеней, создающих шкалу познавательных интересов: очень большой интерес (1); большой интерес (2); средний (3); слабый (4); очень слабый (5).

В психолого-педагогических исследованиях используются шкалы разных видов, например,

а) Трехмерная шкала

Очень активный……..…………..10

Активный…………………………5

Пассивный…...…………………...0

б) Многомерная шкала

Очень активный…………………..8

Среднеактивный………………….6

Не слишком активный…………...4

Пассивный………………………..2

Полностью пассивный…………...0

в) Двусторонняя шкала.

Очень интересуется……………..10

Достаточно интересуется………...5

Равнодушен……………………….0

Не интересуется…………………..5

Совершенно нет интереса………10

Числовые оценочные шкалы дают каждому пункту определенное числовое обозначение. Так, при анализе отношения студентов к учебе, их настойчивости в работе, готовности к сотрудничеству и т.п. можно составить числовую шкалу на основе таких показателей: 1 – неудовлетворительно; 2 – слабо; 3 – средне; 4 – выше среднего, 5 – намного выше среднего. В таком случае шкала приобретает следующий вид (см. табл. 6.8):

Таблица 6.8

Если числовая шкала биполярна, используется биполярная упорядоченность с нулевой величиной в центре:

Дисциплинированность Недисциплинированность

Ярко выраженная 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Не ярко выраженная

Оценочные шкалы могут быть изображены графически. В этом случае они выражают категории в наглядной форме. При этом каждое деление (ступень) шкалы характеризуется вербально.

Рассматриваемые методы играют большую роль в анализе и обобщении полученных данных. Они позволяют установить различные соотношения, корреляции между фактами, выявить тенденции в развитии психолого-педагогических явлений. Так, теория группировок математической статистики помогает определить, какие факты из собранного эмпирического материала сопоставимы, по какому основанию их правильно сгруппировать, какой степени достоверности они будут. Все это позволяет избежать произвольных манипуляций с фактами и определить программу их обработки. В зависимости от целей и задач обычно применяют три вида группировок: типологическую, вариационную и аналитическую.

Типологическая группировка используется, когда необходимо разбить полученный фактический материал на качественно однородные единицы (распределение количества нарушений дисциплины между различными категориями студентов, разбивка показателей выполнения ими физических упражнений по годам учебы и т.п.).

В случае необходимости сгруппировать материал по величине какого-либо изменяющегося (варьирующего) признака – разбивка групп обучающихся по уровню успеваемости, по процентам выполнения заданий, однотипным нарушениям установленного порядка и т.п. – применяется вариационная группировка , дающая возможность последовательно судить о структуре изучаемого явления.

Аналитический вид группировки помогает устанавливать взаимосвязь между изучаемыми явлениями (зависимость степени подготовки студентов от различных методов обучения, качества выполняемых заданий от темперамента, способностей и т.д.), их взаимозависимость и взаимообусловленность в точном исчислении.

Насколько важна работа исследователя по группировке собранных данных, свидетельствует тот факт, что ошибки в этой работе обесценивают самую исчерпывающую и содержательную информацию.

В настоящее время математические основы группировки, типологии, классификации получили наиболее глубокое развитие в социологии. Современные подходы и методы типологии и классификации в социологических исследованиях могут быть с успехом применены в психологии и педагогике.

В ходе исследования используются приемы итогового обобщения данных. Одним из них является прием составления и изучения таблиц.

При составлении сводки данных относительно одной статистической величины образуется ряд распределения (вариационный ряд) значения этой величины. Примером такого ряда (см. табл. 6.9) может служить сводка данных относительно окружности груди 500 лиц.

Таблица 6.9

Сводка данных одновременно по двум и более статистическим величинам предполагает составление таблицы распределения, раскрывающей распределение значений одной статической величины в соответствии со значениями, которые принимают другие величины.

В качестве иллюстрации приводится таблица 6.10, составленная на основании статистических данных относительно окружности груди и веса этих людей.

Таблица 6.10

Окружность груди в см

Таблица распределения дает представление о соотношении и связи, существующих между двумя величинами, а именно: при малом весе частоты располагаются в верхней левой четверти таблицы, что указывает на преобладание лиц с малой окружностью груди. По мере увеличения веса до среднего значения распределение частот передвигается в центр таблички. Это указывает, что люди, вес которых ближе к среднему, имеют окружность груди, также близкую к среднему значению. При дальнейшем увеличении веса частоты начинают занимать правую нижнюю четверть таблички. Это свидетельствует о том, что у человека с весом более среднего окружность груди также выше среднего объема.

Из таблицы следует, что установленная связь не строгая (функциональная), а вероятностная, когда с изменениями значений одной величины другая изменяется как тенденция, без жесткой однозначной зависимости. Подобные связи и зависимости часто встречаются в психологии и педагогике. В настоящее время они выражаются обычно с помощью корреляционного и регрессивного анализа.

Вариационные ряды и таблицы дают представление о статике явления, динамику же могут показать ряды развития, где первая строка содержит последовательные этапы или промежутки времени, а вторая – полученные на этих этапах значения изучаемой статистической величины. Так выявляются возрастание, убывание или периодические изменения изучаемого явления, вскрываются его тенденции, закономерности.

Таблицы могут заполняться абсолютными величинами, или сводными цифрами (средними, относительными). Результаты статистической работы – помимо таблиц часто изображаются графически в виде диаграмм, фигур и т. д. Основными способами графического изображения статистических величин являются: способ точек, способ прямых и способ прямоугольников. Они просты и доступны каждому исследователю. Техника их использования – проведение осей координат, установление масштаба, и выписка обозначения отрезков (точек) на горизонтальных и вертикальной осях.

Диаграммы, изображающие ряды распределения значений одной статистической величины, позволяют составить кривые распределения.

Графическое изображение двух (и более) статистических величин дает возможность образовать некоторую кривую поверхность, называемую поверхностью распределения. Ряд развития при графическом исполнении образуют кривые развития.

Графическое изображение статистического материала позволяет глубже проникнуть в смысл цифровых величин, уловить их взаимозависимости и черты изучаемого явления, которые трудно заметить в таблице. Исследователь освобождается от той работы, которую он вынужден был бы проделать, чтобы разобраться с обилием цифр.

Таблицы и графики – важные, но только первые шаги в исследовании статистических величин. Основным же методом является аналитический, оперирующий математическими формулами, с помощью которых выводятся так называемые “обобщающие показатели”, то есть абсолютные величины, приведенные в сравнимый вид (относительные и средние величины, балансы и индексы). Так, с помощью относительных величин (процентов) определяются качественные особенности анализируемых совокупностей (например, отношение отличников к общему числу студентов; числа ошибок при работе на сложной аппаратуре, вызванных психической неустойчивостью обучающихся, к общему числу ошибок и т.п.). То есть выявляются отношения: части к целому (удельный вес), слагаемых к сумме (структура совокупности), одной части совокупности к другой ее части; характеризующие динамику каких-либо изменений во времени и др.

Как видно, даже самое общее представление о методах статистического исчисления говорит о том, что эти методы располагают большими возможностями в анализе и обработке эмпирического материала. Разумеется, математический аппарат может бесстрастно обработать все, что в него вложит исследователь и достоверные данные, и субъективные домыслы. Вот почему совершенное владение математическим аппаратом обработки накопленного эмпирического материала в единстве с доскональным знанием качественных характеристик исследуемого явления является необходимым для каждого исследователя. Только в этом случае возможен отбор качественного, объективного фактического материала, его квалифицированная обработка и получение достоверных итоговых данных.

Такова краткая характеристика наиболее часто применяемых методов исследования проблем психологии и педагогики. Следует подчеркнуть, что ни один из рассмотренных методов, взятый сам по себе, не может претендовать на универсальность, на полную гарантию объективности получаемых данных. Так, элементы субъективизма в ответах, полученных путем опроса респондентов, очевидны. Результаты наблюдений, как правило, не свободны от субъективных оценок самого исследователя. Данные, взятые из различной документации, требуют одновременно проверки достоверности этой документации (особенно личных документов, документов из “вторых рук” и т.д.).

Поэтому каждому исследователю следует стремиться, с одной стороны, к совершенствованию техники применения любого конкретного метода, а с другой – к комплексному, взаимоконтролирующему использованию разных методов для изучения одной и той же проблемы. Владение всей системой методов дает возможность разработать рациональную методику исследования, четко организовать и провести его, получить существенные теоретические и практические результаты.

Использованная литература.

Шевандрин Н.И. Социальная психология в образовании: Учебное пособие. Ч.1. Концептуальные и прикладные основы социальной психологии. – М.: ВЛАДОС, 1995.

2. Давыдов В.П. Основы методологии, методики и технологии педагогического исследования: Научно-методическое пособие. – М.: Академия ФСБ, 1997.

Методы математической статистики применяются, как правило, на всех этапах анализа исследовательских материалов для выбора стратегии решения задач по конкретным выборочным данным, оценивания полученных результатов. Для обработки материала использовались методы математической статистики. Математическая обработка материалов позволяет со всей четкостью выделить и оценить количественные параметры объективной информации, проанализировать и представить их в различных соотношениях и зависимостях. Они позволяют определить меру варьирования величин в собранных материалах, содержащих количественную информацию о некотором множестве случаев, часть из которых подтверждает предполагаемые связи, а часть не выявляет их, вычислить достоверность количественных различий между выделенными совокупностями случаев, получить другие математические характеристики, необходимые для верного истолкования фактов. Достоверность различий полученных в ходе исследования определялась по t-критерию Стьюдента.

Рассчитывались следующие величины.

1. Среднее арифметическое значение выборки.

Характеризует среднее значение рассматриваемой совокупности. Обозначим результаты измерений. Тогда:

где У- сумма всех значений, когда текущий индекс i изменяется от 1 до n.

2. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) , характеризующее рассеивание, разбросанность рассматриваемой совокупности относительно среднего арифметического значения.

= (x max - x min)/ k

где - среднее квадратическое отклонение

хmaх - максимальное значение таблицы;

хmin - минимальное значение таблицы;

k - коэффициент

3. Стандартная ошибка средней арифметической или ошибка репрезентативности (m). Стандартная ошибка средней арифметической характеризует степень отклонения выборочной средней арифметической от средней арифметической генеральной совокупности.

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:

где у - стандартное отклонение результатов измерений,

n - объем выборки. Чем меньше m тем выше стабильность, устойчивость результатов.

4. Критерий Стьюдента.

(в числителе - разность средних значений двух групп, в знаменателе - квадратный корень из суммы квадратов стандартных ошибок этих средних).

При обработке полеченных результатов исследования использовали компьютерную программу с пакетом Excel.

Исследование проводилось нами по общепринятым правилам, и осуществлялось в 3 этапа.

На первом этапе был собран и проанализирован полученный материал по рассматриваемой проблеме исследования. Формировался предмет научного исследования. Проведенный анализ литературы на данном этапе позволил конкретизировать цель и задачи исследования. Проведено первичное тестирование техники бега на 30 м.<... class="gads_sm">

На третьем этапе был систематизирован полученный в результате научного исследования материал, обобщена вся имеющаяся информация по проблеме исследования.

Экспериментальное исследование проводилось на базе ГУО «Ляховичская средняя школа», в общей сложности выборка составила 20 учащихся 6 классов (11-12 лет).

Глава 3. Анализ результатов исследования

В результате педагогического эксперимента нами были выявлен исходный уровень техники бега на 30 м учащихся в контрольной и экспериментальной группах (Приложения 1-2). Статистическая обработка полученных результатов позволила получить следующие данные (таблица 6).

Таблица 6. Исходный уровень качества бега

Как видно из таблицы 6 среднее количество баллов у спортсменов контрольной и экспериментальной группы статистически не отличаются, в экспериментальной группе средний бал составил 3,6 балла, а в контрольной 3,7 балла. T-критерий в обеих группах tэмп=0,3; Р?0,05, при tкрит=2,1; Результаты исходного тестирования показали, что показатели не зависят от обученности и носят случайный характер. По первоначальному тестированию показатели качества бега у контрольной группы немного превышали показатели экспериментальной группы. Но не было выявлено статистически достоверных различий в группах, что является доказательством идентичности учащихся контрольной и экспериментальной групп по технике бега 30м.

За время эксперимента в обеих группах улучшились показатели, характеризующие эффективность техники бега. Однако это улучшение в разных группах участников эксперимента носило разный характер. В результате обучения выявлен закономерный небольшой прирост показателей в контрольной группе (3,8 балла). Как видно из Приложения 2 в экспериментальной группе был выявлен большой прирост показателей. Учащиеся занимались по предложенной нами программе, что достоверно улучшило показатели.

Таблица 7. Изменения качества бега у испытуемых экспериментальной группы

В ходе эксперимента мы установили, что повышенные нагрузки в экспериментальной группе дали значительные улучшения развития быстроты, нежели в контрольной группе.

В подростковом возрасте целесообразно развивать быстроту путем преимущественного использования средств физического воспитания, направленных на повышение частоты движений. В возрасте 12-15 лет повышаются скоростные способности, в результате применения главным образом скоростно-силовых и силовых упражнений которые использованы нами в процессе проведения уроков физической культуры и внеклассных занятий спортивной секции баскетбола и лёгкой атлетики.

При проведении занятий в экспериментальной группе велась строгая этапность усложнения и двигательного опыта. Своевременно велась работа над ошибками. Как показал анализ фактических данных, экспериментальная методика обучения оказало существенное изменение на качество выполнения техники бега (tэмп=2,4). Анализ полученных результатов в экспериментальной группе и сравнение их с данными, полученными в контрольной группе при использовании общепринятой методики обучения, дают основание утверждать, что предложенная нами методика повысит эффективность обучения.

Таким образом, на этапе совершенствования методики бега 30м в школе мы выявили динамику изменения показателей тестирования в экспериментальной и контрольной группе. После проведенного эксперимента качество выполнение приема повысилась в экспериментальной группе до 4,9 баллов (t=3,3; Р?0,05). К концу эксперимента качество владения техникой бега в экспериментальной группе оказалось выше, чем в контрольной группе.

Математическая статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей. Методы математической статистики используют в тех случаях, когда изучают распределение массовых явлений , т.е. большой совокупности предметов или явлений, распределенных по определенному признаку .

Пусть подлежит изучению совокупность однородных объектов, объединенных общим признаком или свойством качественного или количественного характера. Отдельные элементы такой совокупности называются ее членами. Все число членов совокупности составляет ее объем . Совокупность всех объектов, объединенных по некоторому признаку, будем называть генеральной совокупностью . Например, изучается доход населения, рыночная стоимость акций или отклонение от Госстандарта в ходе качественной оценки изготавливаемой продукции.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятности и опирается на ее выводы. В частности, понятию генеральной совокупности в математической статистике соответствует понятие пространства элементарных событий в теории вероятностей.

Изучение всей генеральной совокупности чаще всего невозможно или нецелесообразно из-за значительных материальных затрат, порчи или уничтожения объекта исследования. Так, невозможно получить объективную и полную информацию о доходе населения всего региона, т.е. каждого конкретного его обитателя. В связи с порчей объекта исследования, невозможно получить достоверную информацию о качестве, например, некоторых лекарственных средств или продуктов питания.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании генеральной совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, то есть изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

Одним из методов математической статистики является выборочный метод . На практике чаще всего исследуется не вся генеральная совокупность, а ограниченного объема выборка из нее.

Выборкой (выборочной совокупностью) называют совокупность случайно отобранных объектов. С помощью выборочного метода исследуется не вся генеральная совокупность, а выборка (х 1 , х 2 ,...,x n ) как результат ограниченного ряда наблюдений. Затем по вероятностным свойствам данной выборки из некоторой генеральной совокупности выносится суждение о всей генеральной совокупности. Для получения выборки применяют различные методы отбора. Объекты исследования после изучения можно в генеральную совокупность, что соответствует
выборке.

Выборка называется репрезентативной или представительной , если она хорошо воспроизводит генеральную совокупность, то есть вероятностные свойства выборки совпадают или близки к свойствам самой генеральной совокупности.

Итак, результативность применения выборочного метода повышается при соблюдении ряда условий, к которым можно отнести следующие:

Количество исследуемых элементов выборки достаточно для выводов , то есть выборка представительна или «репрезентативна ».

Так, достаточное количество деталей в партии, проверяемой на качество (брак), устанавливается с помощью законов теории вероятностей и математической статистики.

Элементы выборки должны быть разнообразны, взяты случайно, т.е. должен соблюдаться принцип рандомизации.

Изучаемый признак – характерен , типичен для всех элементов множества изучаемых объектов – т.е. для всей генеральной совокупности.

Изучаемый признак является существенным для всех элементов данного класса.

Изменение признака статистической совокупности, изучаемого выборочным методом, называется вариацией , а наблюдаемые значения признака x i - вариантой. Абсолютной частотой (частотой или частостью ) варианты x i называется число членов совокупности (генеральной или выборки), имеющих значение x i (т.е. это число частиц i - го сорта).

Ранжированная группировка вариант по отдельным значениям признака (или по интервалам изменения), т.е. последовательность вариант, расположенная в порядке возрастания, называется вариационным рядом . Любую функцию (X 1 ,X 2 ,…,X n ) от результатов наблюдений X 1 ,X 2 ,…,X n исследуемой случайной величины называют статистикой .

Принято объем генеральной совокупности обозначать N , ее абсолютные частоты - N i , объем выборки - n , ее абсолютные частоты - n i . Очевидно, что

,
.

Отношение частоты к объему совокупности называется относительной частотой или статистической вероятностью и обозначается W i или :

Если количество вариант велико или близко к объему выборки (при дискретном распределении), а также если выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляют не по отдельным – точечным – значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Вариационный ряд, представленный таблицей, построенный с помощью процедуры группировки, будем называть интервальным. При составлении интервального вариационного ряда первая строка таблицы заполняется равными по длине интервалами значений исследуемой совокупности, вторая – соответствующими абсолютными или относительными частотами.

Пусть из некоторой генеральной совокупности в результате n наблюдений извлечена выборка объема п . Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им абсолютных или относительных частот. Точечный вариационный ряд абсолютных частот может быть представлен таблицей:

x i				х k
n i				n k

причем
.

Точечный вариационный ряд относительных частот представляют таблицей:

x i				х k

причем
.

При построении интервального распределения существуют правила в выборе числа интервалов или величины каждого интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время на их обработку. Разность x max - x min между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стерджесса:

k = 1+3,3221g n (3.1)

(подразумевается округление до ближайшего целого). Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле:

. (3.2)

x min = x max - 0,5h .

Каждый интервал должен содержать не менее пяти вариант. В том случае, когда число вариант в интервале меньше пяти, соседние интервалы принято объединять.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают дискретные и случайные непрерывные величины.

Дискретной называют величину, если она принимает счетное множество значений. (Пример: число пациентов на приеме у врача, число букв на странице, число молекул в заданном объеме).

Непрерывной называют величину, которая может принимать значения внутри некоторого интервала. (Пример: температура воздуха, масса тела, рост человека и т.д.)

Законом распределения случайной величины называется совокупность возможных значений этой величины и, соответствующих этим значениям, вероятностей (или частот встречаемости).

П р и м е р:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
p	р 1	р 2	р 3	р 4	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
m	m 1	m 2	m 3	m 4	...	m n

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины . Наиболее употребительные из них:

1 .Математическое ожидание - (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

2 .Дисперсия случайной величины:

3 .Среднее квадратичное отклонение :

Правило “ТРЕХ СИГМ” - если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения

ЗАОН ГАУССА – НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону (закон Гаусса). Главная особенность : он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

M(X) - математическое ожидание случайной величины;

s - среднее квадратичное отклонение.

Плотность вероятности (функция распределения) показывает, как меняется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой величины:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика - раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей состоит в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и числовых характеристик по результатам экспериментов.

Основными понятиями математической статистики являются:

1. Генеральная совокупность;

2. выборка;

3. вариационный ряд;

4. мода;

5. медиана;

6. процентиль,

7. полигон частот,

8. гистограмма.

Генеральная совокупность - большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования

(Пример: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)

Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Вариационный ряд - статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.

Пример:

X,кг

x - значение случайной величины (масса девочек в возрасте 10 лет);

m - частота встречаемости.

Мода – значение случайной величины, которому соответствует наибольшая частота встречаемости. (В приведенном выше примере моде соответствует значение 24 кг, оно встречается чаще других: m = 20).

Медиана – значение случайной величины, которое делит распределение пополам: половина значений расположена правее медианы, половина (не больше) – левее.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примере мы наблюдаем 40 значений случайной величины. Все значения расположены в порядке возрастания с учетом частоты их встречаемости. Видно, что справа от выделенного значения 7 расположены 20 (половина) из 40 значений. Стало быть, 7 – это медиана.

Для характеристики разброса найдем значения, не выше которых оказалось 25 и 75% результатов измерения. Эти величины называются 25-м и 75-м процентилями . Если медиана делит распределение пополам, то 25-й и 75-й процентили отсекают от него по четвертушке. (Саму медиану, кстати, можно считать 50-м процентилем.) Как видно из примера, 25-й и 75-й процентили равны соответственно 3 и 8.

Используют дискретное (точечное) статистическое распределение инепрерывное (интервальное) статистическое распределение.

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона частот или - гистограммы .

Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x 1 ,m 1 ), (x 2 ,m 2 ), ..., или для полигона относительных частот – с координатами (x 1 ,р * 1 ), (x 2 ,р * 2 ), ...(Рис.1).

m m i /n f(x)

Рис.1 Рис.2

Гистограмма частот - совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (Рис.2), основания прямоугольников одинаковы и равны dx , а высоты равны отношению частоты к dx , или р * к dx (плотность вероятности).

Пример:

х, кг	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

Полигон частот

Отношение относительной частоты к ширине интервала носит название плотности вероятности f(x)=m i / n dx = p* i / dx

Пример построения гистограммы .

Воспользуемся данными предыдущего примера.

1. Расчет количества классовых интервалов

гдеn - число наблюдений. В нашем случае n = 100 . Следовательно:

2. Расчет ширины интервала dх :

3. Составление интервального ряда:

dх	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f(x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

Гистограмма

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математическая статистика -- наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей позволяющую оценить надежность и точность выводов делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр. оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей -- свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик выдающий лишь некие результаты по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают например следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину -- как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении? математический статистика дисперсия гистограмма

Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос набор экономических показателей или наконец последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты. Все вышеприведенные факторы обуславливают актуальность и значимость тематики работы на современном этапе направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики.

1. Предмет и метод математической статистики

В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел многомерный статистический анализ анализ функций (процессов) и временных рядов статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях. Выделяют общие задачи описания данных оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи связанные с проведением выборочных обследований восстановлением зависимостей построением и использованием классификаций (типологий) и др.

Для описания данных строят таблицы диаграммы иные наглядные представления например корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся в частности кластер-анализ нацеленный на выделение групп объектов похожих друг на друга и многомерное шкалирование позволяющее наглядно представить объекты на плоскости в наименьшей степени исказив расстояния между ними.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается что изучаемые объекты описываются функциями распределения зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание медиану дисперсию квантили и др.) плотности и функции распределения зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции а также параметрических или непараметрических оценок функций выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках) о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики связанный с проведением выборочных обследований со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ и многочисленные нелинейные обобщения.

Различные методы построения (кластер-анализ) анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без) автоматической классификации и др.

Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний метрик) как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчетов так и для имитационного моделирования (в частности в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

1.1 Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристи ку качественно однородной совокупности по определенному количественно му признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качест венно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффек тивности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред няя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяю щим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зави симость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления сум мы величин на их число и вычисляется по формуле:

Размещено на http://www.allbest.ru/

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3 ... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

Сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

На “отлично” учатся - 5 человек из участвующих в эксперименте;

На “хорошо” учатся - 18 человек;

На “удовлетворительно” - 22 человека;

На “неудовлетворительно” - 6 человек.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 - владею свободно - 25

2 - владею в достаточной степени для общения - 54

3 - владею, но испытываю трудности при общении - 253

4 - понимаю с трудом - 173

5 - не владею - 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является - “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна - 253.

(2)Размещено на http://www.allbest.ru/

где: - средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (действий) - менее 100 - в значении формулы следует ставить не “N”, а “N - 1”.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основны ми характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэффициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представляющий собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней ариф метической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явлений.

Меры связи между переменными. Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией. Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

1.2 Основные понятия выборочного метода

Пусть -- случайная величина наблюдаемая в случайном эксперименте. Предполагается что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать).

Будем считать что проведя раз этот эксперимент в одинаковых условиях мы получили числа -- значения этой случайной величины в первом втором и т.д. экспериментах. Случайная величина имеет некоторое распределение которое нам частично или полностью неизвестно.

Рассмотрим подробнее набор называемый выборкой.

В серии уже произведенных экспериментов выборка -- это набор чисел. Но если эту серию экспериментов повторить еще раз то вместо этого набора мы получим новый набор чисел. Вместо числа появится другое число -- одно из значений случайной величины. То есть (и и и т.д.) -- переменная величина которая может принимать те же значения что и случайная величина и так же часто (с теми же вероятностями). Поэтому до опыта -- случайная величина одинаково распределенная с а после опыта -- число которое мы наблюдаем в данном первом эксперименте т.е. одно из возможных значений случайной величины.

Выборка объема -- это набор из независимых и одинаково распределенных случайных величин («копий ») имеющих как и распределение.

Что значит «по выборке сделать вывод о распределении»? Распределение характеризуется функцией распределения плотностью или таблицей набором числовых характеристик -- и т.д. По выборке нужно уметь строить приближения для всех этих характеристик.

Рассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе -- набор чисел. На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину принимающую значения с вероятностями по (если какие-то из значений совпали сложим вероятности соответствующее число раз).

Распределение величины называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины и введем обозначения для этих величин:

Точно так же вычислим и момент порядка

В общем случае обозначим через величину

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку набором случайных величин то и сами эти характеристики -- -- станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения для оценки характеристик истинного распределения (или) -- в близости этих распределений при больших.

Рассмотрим для примера подбрасываний правильного кубика. Пусть -- количество очков выпавших при -м броске. Предположим что единица в выборке встретится раз двойка -- раз и т.д. Тогда случайная величина будет принимать значения 1 6 с вероятностями соответственно. Но эти пропорции с ростом приближаются к согласно закону больших чисел. То есть распределение величины в некотором смысле сближается с истинным распределением числа очков выпадающих при подбрасывании правильного кубика.

Поскольку неизвестное распределение можно описать например его функцией распределения построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1. Эмпирической функцией распределения построенной по выборке объема называется случайная функция при каждом равная

Напоминание: Случайная функция

называется индикатором события. При каждом это -- случайная величина имеющая распределение Бернулли с параметром

Иначе говоря, при любом значение равное истинной вероятности случайной величине быть меньше оценивается долей элементов выборки меньших.

Если элементы выборки упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе) получится новый набор случайных величин называемый вариационным рядом:

Элемент называется -м членом вариационного ряда или -й порядковой статистикой.

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки величина скачка в точке равна где -- количество элементов выборки совпадающих с.

Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:

Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных). Эмпирическим или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма. Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть -- интервалы на прямой называемые интервалами группировки. Обозначим для через число элементов выборки попавших в интервал:

На каждом из интервалов строят прямоугольник площадь которого пропорциональна. Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть -- длина интервала. Высота прямоугольника над равна

Полученная фигура называется гистограммой.

Разобьем отрезок на 4 равных отрезка. В отрезок попали 4 элемента выборки в -- 6 в -- 3 и в отрезок попали 2 элемента выборки. Строим гистограмму (рис. 2). На рис. 3 -- тоже гистограмма для той же выборки но при разбиении области на 5 равных отрезков.

В курсе «Эконометрика» утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки («формула Стерджесса») является

Здесь -- десятичный логарифм, поэтому

т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Заметим что чем больше интервалов группировки, тем лучше. Но если брать число интервалов скажем порядка,то с ростом гистограмма не будет приближаться к плотности.

Справедливо следующее утверждение:

Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при так что имеет место поточечная сходимость по вероятности гистограммы к плотности.

Так что выбор логарифма разумен, но не является единственно возможным.

Размещено на Allbest.ru

...

Экспериментальная группа

Контрольная группа

Значение эффек-тивности деятельности

Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.

курсовая работа , добавлен 28.09.2011

Предмет, методы и понятия математической статистики, ее взаимосвязь с теорией вероятности. Основные понятия выборочного метода. Характеристика эмпирической функции распределения. Понятие гистограммы, принцип ее построения. Выборочное распределение.

учебное пособие , добавлен 24.04.2009

Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.

лекция , добавлен 12.12.2011

Оценки параметров распределения, наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике: нормальное распределение, распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера. Факторное пространство, формулирование цели эксперимента и выбор откликов.

реферат , добавлен 01.01.2011

Числовые характеристики выборки. Статистический ряд и функция распределения. Понятие и графическое представление статистической совокупности. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения плотности распределения. Применение метода наименьших квадратов.

контрольная работа , добавлен 20.02.2011

Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.

курсовая работа , добавлен 13.10.2009

Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.

контрольная работа , добавлен 23.08.2015

Обработка результатов информации по транспортным и технологическим машинам методом математической статистики. Определение интегральной функции нормального распределения, функции закона Вейбула. Определение величины сдвига к началу распределения параметра.

контрольная работа , добавлен 05.03.2017

Понятие математической статистики как науки о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Точечные оценки параметров статистических распределений. Анализ вычисления средних величин.

курсовая работа , добавлен 13.12.2014

Основные понятия математической статистики, интервальные оценки. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения при помощи критерия Пирсона. Свойства оценок, непрерывные распределения.