Центральным понятием теории вероятности является понятие вероятностного пространства.

Начнем с пространства элементарных событий. Так называется перечень, список, реестр или, как говорят математики, множество событий, которым может закончиться случайный эксперимент.

Поясним сказанное примерами.

Случайный эксперимент – бросание монеты. Чаще всего говорят, что этот эксперимент заканчивается одним из двух событий – выпадает «орёл» или «решка». Хотя некоторые говорят, что этот перечень неполный – не хватает события «монета упала на ребро». Кто прав? И одни и другие! Всё зависит от задачи, которую предстоит решить. Конечно, «падение на ребро» - крайне маловероятное событие и чаще всего такой исход эксперимента можно не принимать во внимание. Итак, будем считать, что в этом эксперименте возможны только два взаимоисключающие исхода , два события , и поэтому пространство элементарных событий состоит из двух элементов –

В этой записи буквой обозначено пространство элементарных событий, а буквы О и Р обозначают сами события.

Ещё один пример случайного эксперимента – бросание игральной кости. Здесь пространство элементарных событий состоит из 6 элементов

Цифрой 1 обозначено событие, состоящее в том, что в результате эксперимента выпала грань, на которой изображена одна точка, 2 – две точки и т.д.

Здесь важно понять, что имеется в виду, когда говорят об элементарных событиях. Вспомним событие, которое состоит в том, что на кости выпадет четное число очков. Легко догадаться, что в нашей модели оно не элементарное – состоит из трёх элементарных.

В теории вероятности подразумевается, что пространство элементарных событий состоит из действительно элементарных событий. Описание элементарных событий – первая задача исследователя.

где - элементарные события, – число возможных исходов эксперимента.

В теории вероятностей этот случай называется дискретной схемой.

Итак, со случайным экспериментом мы, в первую очередь, связываем пространство элементарных событий.

Построение пространства элементарных событий, чаще всего, очень несложная процедура, хотя по числу элементов пространство может оказаться весьма громоздким. Вот несколько примеров.

В популярной лотерее 7 из 49 пространство элементарных событий содержит более чем 143 миллиона элементов.

Случайный эксперимент состоит в бросании двух игральных костей. Пространство элементарных событий для этого эксперимента можно изобразить в виде

Конечно это не матрица. Можно было перечислить все элементарные события, записав их в строчку и в любом порядке. Но так удобнее! Кстати, об обозначениях: элемент (3,5) соответствует элементарному событию – на первой кости выпало 3 очка, на второй – 5 очков.

От элементарных событий перейдём к событиям.

Событие – это любое подмножество пространства элементарных событий.

В эксперименте с бросанием игральной кости пространство элементарных событий
.

Существует 2 6 = 64 различных подмножеств множества , 64 различных события, которыми может закончиться такой эксперимент:

Событие А – выпало нечётное число очков состоит из трёх элементарных событий, А ={1, 3, 5}, событие А происходит, если эксперимент заканчивается одним из тех элементарных событий, которые входят в событие А;

событие В – выпало число очков делится на 3 без остатка, B = {3,6}.

Важно понимать и помнить, что эксперимент всегда заканчивается одним и только одним элементарным событием.

Всё пространство элементарных событий называется достоверным событием.

Каждому событию можно поставить в соответствие противоположное событие .

Противоположное событие к событию – событие .

Противоположное событие к событию B = {3,6} – событие .

Противоположное событие к событию не содержит элементарных событий – невозможное событие, его обозначают .

В число событий входят:

все элементарные события;

всё пространство элементарных событий ;

противоположное событие .

События можно складывать и перемножать.

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, в котором присутствуют все элементарные события из А и все элементарные события из В.

Сумма А+В ={2, 4, 6} + {3, 6} = {2, 3, 4, 6}. Действительно в сумме А+В присутствуют все элементарные события из А и все элементарные события из В.

Произведением А·В событий А и В (обозначается А·В) называется событие, которое состоит из тех и только тех элементарных, которые входят одновременно и в А и в В.

В последнем примере А·В = ={2, 4, 6} · {3, 6} = {6}, число очков чётное и делится на 3 без остатка.

Для «построения» теории вероятностей у нас уже есть:

пространство элементарных событий;

события (состоящие из элементарных);

простейшие операции над событиями, сложение, умножение, дополнение.

Теперь каждому элементарному событию из пространства элементарных событий припишем положительное число так, что все и

Определение

Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками : ), где

Замечания

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть - конечное множество, содержащее элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

,

где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность любого элементарного события:

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба () и выпадение решки (), то есть Тогда и вероятность можно посчитать следующим образом:

Таким образом определена тройка - вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Вероятностное пространство" в других словарях:

Поле вероятностей, совокупность непустого множества, класса подмножеств множества Q, являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым относительно теоретико множественных операций, производимых в счетном числе) и распределения (вероятностной… … Математическая энциклопедия

Пространство понятие, используемое (непосредственно или в составе сложных терминов) в естественных языках, а также в таких разделах знания, как философия, математика, физика и т. п. На уровне повседневного восприятия пространство интуитивно… … Википедия

Пространство понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в обыденной речи, а также в различных разделах знаний. Пространство на уровне повседневного восприятия Математика Трёхмерное пространство Аффинное пространство Банахово… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В математике слово «пространство» употребляется в большом наборе сложных терминов. Грубо говоря, пространство есть множество с некоторой дополнительной структурой. В зависимости от… … Википедия

Пространство элементарных событий множество всех различных исходов случайного эксперимента. Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его… … Википедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) - одно из основных понятий теории вероятностей (см.) и статистики математической (см.). При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство { F 1, S, Р), где Q… … Российская социологическая энциклопедия

Множество всех элементарных событии, связанных с нек рым экспериментом, причем любой неразложимый исход эксперимента представляется одной и только одной точкой В. п. (выборочной точкой). В. п. является абстрактным множеством, на алгебре… … Математическая энциклопедия

В функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

Это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ой степенью. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах это фундаментальное свойство пространств Lp. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Неравен … Википедия

Книги

• Теория вероятностей. Вероятностное пространство. Условная вероятность , Татьяна Сабурова. В данном учебном пособии приводится краткое изложение теоретического материала по первой части курса «Теория вероятностей», разобраны решения большого количества типовых задач, приведены…

Говорят, что имеется вероятностная (математическая) модель случайного опыта, если построены:

1) пространство элементарных событий Е

2) поле событий К

3) распределение вероятностей на поле событий К , т.е. для каждого события А из поля событий К задана вероятность Р (А )

Тройка объектов (Е , К , Р ) называется вероятностным пространством (моделью) данного случайного опыта.

Если Е – дискретное, то (Е , К , Р ) называется дискретным.

Если Е – непрерывное, то (Е , К , Р ) называется непрерывным.

§6. Классическая вероятностная модель.

Вероятностная модель называется классической, если выполнены следующие 2 условия:

1) пространство элементарных событий – дискретное конечное, состоит из n элементарных событий Е ={e 1 , e 2 , …, e n }

2) - вероятности всех элементарных событий равны

Вероятностное пространство определяется так:

для заданного пространства Е поле событий К - есть множество всех подмножеств из Е , а вероятности Р (А ) для любого события А из К выражаются через вероятности элементарных событий.

По аксиоме 3:

§7. Геометрические вероятности.

Классическая модель: дискретная вероятностная модель

Геометрическая модель: непрерывная вероятностная модель

(Е , К , Р )

Е – непрерывное пространство, множество точек области на плоскости

К ={A }

А из Е : А – длина; А – площадь; А – объём

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

Наудачу бросается точка, наблюдается событие: попадание точки в область А . «Наудачу» означает: вероятность события А зависит от площади А , не зависит от её формы и положения Е .

§8. Теорема о сложении вероятностей.

(Не путать с аксиомой о сложении вероятностей).

Теорема. Задано вероятностное пространство (Е ,К , Р ), есть события А , В Е.

По аксиоме 3:

Вычитая из 1-го равенства 2-е получим ч.т.д.

Замечание: из аксиомы 3 следует, что если события составляют полную группу,

И - полная группа

§9. Условные вероятности.

Пример.

Три раза бросается монета. Результат: цифра или герб.

A – герб выпал один раз;

Пусть в результате опыта произошло событие В . Число выпавших гербов – нечётно.

Тогда, если В произошло, .

Рассмотрим более общую ситуацию: пусть некоторому случайному опыту соответствует классическая вероятностная модель.

, n элементарных событий

r элементарных событий входит и в А и в В .

Найдём вероятность события А при условии, что произошло В . Если В произошло, то его вероятность равна 1, то .

Событие А происходит, если происходит элементарное событие, принадлежащее пересечению, их всего r .

Определение: пусть задано вероятностное пространство (Е , К , Р ); А , В – события. Если , то условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятностью другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место.

Вероятность произведения n событий.

Пример.

В урне 12 шаров: 5 белых, 7 чёрных. 2 лица один за другим вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

А – белый шар у Пети

В – белый шар у Маши

Пример.

Вероятность попадания в цель при стрельбе из 1-го и 2-го орудия равны:

Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.

А – попадание из 1-го орудия

В – попадание из 2-го орудия

А +В – попадание хотя бы из одного

Зависимые и независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Свойства независимых событий:

1 ̊. Если P (A )>0, то независимость А и В эквивалентна равенству P (A /B )=P (A ). Вероятность А не меняется, если В произошло.

2 ̊. Если А и В – независимые события, то и - независимые.

Из последнего равенства получаем:

Пример.

Опыт: 2 раза бросается монета.

А – герб при 1-м бросании

В – выпадение цифры при 2-м бросании

А и В – независимые?

§10. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть (Е , К , Р ) – модель некоторого случайного опыта.

Н 1 , Н 2 , …, Н n – полная группа.

H i – гипотеза

Доказательство:

т.к. H i – попарно несовместные, , по аксиоме 3 .

Пример.

Имеются 3 одинаковых урны. Состав: 1-я – 2 белых, 1 чёрный; 2-я – 3 белых, 1 чёрный; 3-я – 2 белых, 2 чёрных. Наудачу выбирается урна; из неё вынимается шар. Найти вероятность того, что шар – белый.

Гипотезы:

H i – выбрана i -я урна, i =1,2,3.

А – шар белый

Формулы Байеса.

Если вероятности гипотез до опыта известны, то их называют априорные вероятности гипотез. Пусть известно, что событие А произошло. Вероятность всех гипотез изменяется.

Вероятности гипотез после того, как событие А произошло – апостериорные вероятности.

Пусть в условиях предыдущего примера известно, что вытащен белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащен из второй урны.

В настоящей главе в сжатом виде представлена эволюция теории вероятностей от классической схемы с конечным числом равновозможных исходов до аксиоматического построения. Вводятся важнейшие понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, случайные события и действия над ними, поле событий, вероятность, вероятностное пространство.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий. Так, например, вода при нормальных атмосферных условиях и 0° С замерзает. Соответственно, невозможным является событие, которое при заданном комплексе условий никогда не произойдет. Случайным естественно назвать такое событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий.

Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, .......Достоверное событие обозначим буквой?2, невозможное - символом 0. Введем теперь некоторые отношения между событиями.

Два события А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, В - это такое третье событие С = А + В, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие В, либо они оба одновременно. Произведение событий А, В - это такое событие С = АВ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие В. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе с ним образует достоверное событие А + А = Q..

Покажем, как могут быть построены математические модели явлений с конечным числом исходов. Одной из таких моделей является модель, известная под названием «классическая вероятностная схема». В этой схеме определение вероятности основывается на равновозмож- ности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх.

Так, в случае с игральной костью при однократном бросании равновозможно выпадение любой из шести граней, на которые нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти равновозможные исходы, или элементарные события, через С0|, (% (% а> 4 , СО5, (% Естественно, что шанс осуществиться не одному исходу, а одному из двух, например или С0[, или (рг, в два раза больше. Рассуждая таким образом, можно определить шансы осуществления любого составного события А, состоящего из нескольких элементарных, так называемого составного события.

В общем случае, когда имеется п равновозможных элементарных событий (Oi, ..., сц, вероятность любого составного события А, состоящего из т элементарных событий,...,со, определяется как

отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий, т.е.

Например, в случае с игральной костью вероятность события А, состоящего в выпадении четного числа очков (т.е. А = {со^, (% оу}), равна Р(А) = 3 / б = V 2 , так как в событие А входят три элементарных события, а общее число элементарных событий равно 6.

Из классического определения вероятности, в частности, вытекает, что вероятность полного события?2, включающего все п элементарных событий, равна единице:

Но ведь тогда полное событие?2, состоящее в появлении любого из всего набора элементарных событий?2 = {со, ..., щ,}, и является достоверным событием, так как оно обязательно происходит. Поэтому вероятность достоверного события равна единице.

Если события рассматривать как подмножества множества элементарных событий, то отношения между событиями, введенными выше, можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события - это такие события, которые не содержат общих элементов. Сумма (А + В) и произведение событий А В - это соответственно их объединение A U В и пересечение А П В , противоположное событие А - дополнение А. Запись А с В означает, что в В содержатся все элементарные события из А и могут содержаться элементарные события, не входящие в А. Если AczBnBcz А, то А = В.

В случае классического определения вероятности справедлива следующая теорема сложения вероятностей:

Теорема 1.1. Если два составных события Л = {со,.со, } и В = {со у,..., соj } являются несовместными, то вероятность объединенного события С = A U В равна сумме вероятностей этих двух событий.

Действительно, вероятности событий А и В равны соответственно т/п и к/п, а событие С = A U В = {со,.,..., со,- ,со,-,...,со, } содержат

т + к элементарных событий, так как по условию теоремы среди элементарных событий {со,.,...,со, } нет ни одного, которое бы входило

в набор {С0у,..., С0д}, поэтому, согласно классическому определению, его вероятность

Из теоремы сложения вытекает, что поэтому

Отсюда, в частности, следует, что вероятность невозможного события, являющегося противоположным по отношению к достоверному событию, равна нулю:

Урновая схема

Классическая схема, несмотря на всю свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач.

Рассмотрим, например, некоторую совокупность элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным; или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет; или избиратели, которые могут проголосовать за или против кандидата, и т.д. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М белых и (N - М) черных.

Представим себе, что имеются только разрушающие средства контроля каждого изделия на годность. Например, электролампа считается годной, если до перегорания нити накаливания пройдет не менее чем определенное число часов, а это можно определить только непосредственным испытанием. В таком случае можно обследовать только часть изделий, а не всю партию.

Итак, из урны, содержащей N шаров, в которой находится неизвестное число М белых шаров, извлекается выборка объема п.

Требуется определить вероятность того, что в выборке будет обнаружено т белых шаров. В частности, определить вероятность того, что т/п близко к M/N, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. Последняя из этих двух сформулированных задач, как будет показано далее, является задачей математической статистики.

Первая же задача - на применение классического определения вероятности. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны. Подсчитаем число всех возможных выборок объема п из N элементов. Как известно из комбинаторики, число способов, с помощью которых можно выбрать п элементов из общего их числа

N, равно числу сочетаний из N по л, т.е. с" = ^" где /V! =

N n(N - и)!’

1 2-N. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно C " N . Выясним, сколько исходов из общего числа элементарных исходов благоприятствуют событию А, т.е. наличию в выборке объема п белых шаров в количестве т. Число способов, которыми можно из М белых шаров извлечь т штук, равно, а число способов выбрать из (N-М) черных шаров (« - т) штук равно С^~_ т м. Поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно С^С^~_ т м, следовательно,

вероятность события А, равная отношению числа благоприятных исходов к их общему числу, такова:

Пример 1.1. Пусть имеется партия, состоящая из 500 изделий, среди которых два бракованных. Какова вероятность в выборке из 5 изделий нс обнаружить ни одного бракованного?

Воспользуемся формулой (1.1.3):

Какой вывод можно сделать о генеральной совокупности, не обнаружив в выборке ни одного бракованного изделия? Кажется естественным перенести этот вывод на всю генеральную совокупность. Таким образом, при выборке, составляющей 1% от генеральной совокупности, мы получили с вероятностью 0,98 абсолютно неправильный ответ: в генеральной совокупности нет бракованных изделий. Этот вывод из очень простой задачи должен не обескуражить, а, напротив, помочь правильно построить статистические выводы по выборочным данным. В рассматриваемом случае, очевидно, не следует пытаться оценивать долю бракованных изделий (N - M)/N по их доле в выборке (п - т)/п, а, по-видимому, целесообразно указывать интервал, который с определенной надежностью должен накрыть неизвестную долю бракованных изделий (N- M)/N. Этот интервал естественно задать в виде

--- ± 8, где ширина интервала 8(п, q) является функцией от объема п

выборки п и уровня надежности ц.

Причем естественно ожидать (в чем мы и убедимся в дальнейшем), что ширина интервала при прочих равных условиях уменьшается с ростом объема выборки и увеличивается при возрастании уровня надежности.

Как отмечалось выше, говорить о вероятности Р(Л) как о мере возможности осуществления случайного события А имеет смысл, только если выполняется определенный комплекс условий. При изменении условий изменится и вероятность. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(А), добавить новое условие, состоящее в появлении события В, то получим другое значение вероятности Р(А/В) - условную вероятность события А при условии, что произошло событие В. Вероятность Р(А) в отличие от условной будем называть безусловной.

Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют тик элементарных исходов из «; тогда, согласно формуле (1.1.1), их безусловные вероятности равны т/п и к/п соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют г элементарных исходов, тогда, согласно формуле (1.1.1), условная вероятность события А

Разделив числитель и знаменатель на п, получим формулу условной вероятности:

поскольку событию А П В соответствует г исходов и, следовательно, г/п - его безусловная вероятность. Событие А называется независимым от В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. Р(А/В) = Р(А), при этом из формулы (1.1.4) получаем

т.е. свойство независимости взаимно и для независимых событий, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей. Формула (1.1.4), записанная в виде

называется формулой умножения для зависимых событий, а формула (1.1.5) - теоремой умножения для независимых событий.

Например, в опыте с игральной костыо: пусть событие А состоит в выпадении числа очков, делящегося на три, т.е. А = {со, с%}, а событие В - в выпадении четного числа очков, т.е. В = {со^, щ, ссц}; тогда А П В = со 6 и по формуле условной вероятности (1.1.4) получаем:

но Р(А) = 2 / 6 = Уз, поэтому Р(А/В) = Р(А), т.е. события Aw В независимы.

Одной из наиболее трудных задач, возникающих в процессе моделирования, является определение значений показателей: цены информации, уровня угрозы и вероятности ее реализации, затрат на предотвращение угроз. Такая проблема возникает при решении любых слабоформализуемых задач. Поэтому ей уделяется посто­янное внимание, хотя до ее решения еще далеко. Отсутствие одно­значной зависимости результата решения слабоформализуемой за­дачи от исходных данных, их неопределенность и недостоверность существенно затрудняют использование традиционного математического аппарата. Более того, часто этого не следует делать, так как при недостоверных исходных данных можно получить результат, далекий от реального.

Так как люди в повседневной жизни решают слабоформализу­емые задачи чаще, чем точные, то в процессе эволюции создан ме­ханизм их решения с приемлемой для выживания homo sapies точ­ностью. Алгоритм их решения на бессознательном уровне пока не известен, но получены полезные эвристические рекомендации.

Так как решение слабоформализуемых задач производит чело­век, в дальнейшем - лицо, принимающее решение (ЛПР), то ис­пользуемые методы объективно должны основываться на способ­ностях и возможностях ЛПР по решению таких задач. Они учиты­вают следующие эмпирические положения:

Точность решения ЛПР слабоформализуемых задач обратно пропорциональна их сложности, причем ЛПР может в среднем оперировать одновременно с 5-9 понятиями;

Объективность оценок ЛПР показателей процедур решения сла­боформализуемых задач в условиях недостаточной и недосто­верной информации выше при использования им качественных шкал, чем количественных;

При ограниченности ресурса его целесообразно использовать, прежде всего, для предотвращения угроз с максимальным ущер­бом;

Эффективность использования ресурса выше при его комплек­сном применении, когда одни и те же меры предотвращают не­сколько угроз.

Из этих достаточно общих положений следует, что для повы­шения точности и объективности ЛПР выбора, целесообразно:

Детализировать алгоритм решения слабоформализуемой зада­чи, разбивая его на этапы и процедуры, при определении пока­зателя которых возникает меньше ошибок;

При оценке показателей отдельных этапов и процедур использо­вать качественные шкалы с числом градаций (значений) в пре­делах 5-9;

Проранжировать угрозы безопасности информации по потенци­альному ущербу и расходование ресурса на предотвращение угроз производить последовательно, начиная с мер предотвраще­ния угрозы с максимальным ущербом;

При разработке мер защиты учитывать влияние предыдущих мер на снижение ущерба рассматриваемой угрозы.

Действительно, если человек не знает точного количественно­го значения какого-либо показателя, он заменяет его качественной мерой: высокий человек, большая цена, длинный путь, малая веро­ятность и др. При этом его качественные оценки могут весьма точ­ными и однозначными.