Вычисление площадей по формуле пике. Геометрия. Метод Пика.(Вычисление площади фигуры). Нахождение площади фигур геометрическим методом и по формуле Пика

Формула Пика

1. Введение

2. Формула Пика. Доказательство I .

Доказательство II .

Доказательство Ш.

3. Задачи.

4. Формула площади многоугольника через координаты вершин.

5. Задачи.

6. Литература

Формула Пика.

1. Введение.

В истории черпаем мы мудрость,

в поэзии - остроумие,

в математике - проницательность.

Ф. Бэкон

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдём его площадь.

Искать её можно по - разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот. Фигура легко разбивается на прямоугольники, трапеции, и треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади придется изрядно потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

2. Формула Пика.

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит В узлов решетки, а на границе Г узлов. Докажем, что его площадь равна В + – 1 (формула Пика).

Доказательство I .

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.

Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах.

Обозначим:

n – число сторон многоугольника,

m – количество треугольников с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах,

В – число узлов внутри многоугольника,

Г – число узлов на сторонах, включая вершины.

Площади всех этих треугольников одинаковы и равны .

Следовательно, площадь многоугольника равна
.

180 0 m .

Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 360 0 .

Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узлах равна 360 0 В.

Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна 180 0 (Г – n ).

Сумма углов при вершинах многоугольника равна 180 0 (n – 2) .

Общая сумма углов всех треугольников равна 360 0 В + 180 0 (Г – n ) + 180 0 (n – 2).

Таким образом, 180 0 m = 360 0 В + 180 0 (Г – n ) + 180 0 (n – 2),

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г – 180 0 n + 180 0 n – 180 0 ·2,

180 0 m = 360 0 В + 180 0 Г– 360 0 ,

= В + – 1 ,

откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

S = В + – 1 ,

известное как формула Пика.

На рисунке: В = 24, Г = 9, следовательно, S = 24 + – 1 = 27,5.

Найдём площадь первого многоугольника по формуле Пика:

В = 28 (зеленые точки);

Г = 20 (синие точки).

Получаем, S =
= 37 кв.ед.

Доказательство II .

Каждому многоугольнику M с вершинами в узлах целочисленной решетки поставим в соответствие число f (M) =
, где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащим M, а угол определяется следующим образом: =
для внутренней точки многоугольника, =
для граничной точки, отличной от вершины, и – угол при вершине, если данный узел – вершина. Легко видеть, что f (M) =
+
= В + – 1. Остаётся проверить, что число f (M) равно площади многоугольника M.

Пусть многоугольник M разрезан на многоугольники M 1 и M 2 с вершинами в узлах решетки. Тогда f (M) = f (M 1) + f (M 2), поскольку для каждого узла углы складываются. Поэтому если формула Пика верна для двух из многоугольников M, M 1 и M 2 , то она верна и для третьего.

Если M - прямоугольник со сторонами p и q , направленными по линиям решетки, то

f (M) = (p – 1)(q – 1) +
= pq.

В этом случае формула Пика справедлива. Разрезав прямоугольник M диагональю на треугольники M 1 и M 2 и воспользовавшись тем, что f (M) = f (M 1) + f (M 2) и f (M 1) = f (M 2), легко доказать справедливость формулы Пика для любого прямоугольного треугольника с катетами, направленными по линиям решетки. Отрезав несколько таких треугольников от прямоугольника, можно получить любой треугольник.

Для завершения доказательства формулы Пика остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Доказательство Ш.

Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника.

Пусть ABCD - прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки.

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г - количество узлов на его границе. Сместим сетку на пол клетки вправо и полклетки вниз.

Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещенной сетки, каждый из Г – 4 граничных неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу

Докажем, что эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

Обозначим через S м площадь многоугольника М с вершинами в узлах, а через П м – величину
, где В м – число узлов внутри М, а Г м - число узлов на границе. Тогда формулу Пика можно записать в виде
.

Доказательство формулы разобьем на несколько шагов.

Шаг 1.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на 2 многоугольника М 1 и М 2 , также имеющих вершины только в узлах сетки, то
. Пусть многоугольник М разрезан на многоугольники М 1 и М 2 с вершинами в узлах отрезком АВ. Все узлы, кроме тех, которые попадают на отрезок АВ, дают одинаковый вклад в левую и правую части формулы. Рассмотрим узлы, лежащие на отрезке АВ.

Если такой узел лежит между А и В (например, С), то для многоугольника М он внутренний, а для многоугольников М 1 и М 2 – граничный. Поэтому его вклад в П м равен 1, а в каждое из выражений
и
– по 0,5, то есть вклады такого узла в П м и
равны.

Рассмотрим узлы А и В. Они граничные как для М , так и для М 1 , М 2 .

Поэтому вклад каждого из этих узлов в П м равен 0,5 а в
- единице. Значит, суммарный вклад узлов А и В в П м равен 1, что на 1 меньше, чем их вклад в
. Но
, а .

Из общего «вклада» всех узлов П м вычитается 1, а из
вычитается 2, и это компенсирует разницу вкладов узлов А и В.

Итак,
.

Шаг 2.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на два многоугольника М 1 и М 2 (тоже с вершинами в узлах) и формула верна для каких-то двух из многоугольников М, М 1 , М 2 , то она верна и для третьего многоугольника.

Пусть, например, она верна для М 1 и М 2 , то есть
. Тогда (по первому шагу) , но (по первому шагу) последнее выражение равно П м , а равенство
и есть формула Пика.

Шаг 3.

Докажем формулу Пика для прямоугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки.

Треугольник АВС достроим до прямоугольника ABCD .

Для прямоугольников формула Пика верна: S ABCD = П ABCD . Согласно первому шагу П ABCD = П ABC + П ACD , П ABC = П ACD , так что П ABCD = 2П ABC . Но S ABCD = 2 S ABC . Поэтому S ABC = П ABC .

Шаг 4.

Формула Пика верна для произвольного треугольника с вершинами в узлах сетки.

Рассмотрев рисунок, легко понять: любой такой треугольник можно получить, «отрезав» от некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки, несколько прямоугольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки. А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников, то (вспомним шаг 2) она верна и для исходного треугольника.

Мы доказали, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

3. Задачи.

Найдите площади фигур:

1
.

B = 9

Г = 4

B = 9

Г = 5

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Теорема Пика

Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.

Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Эту темa будет интереснa учащимся 10-11 классов в рaмкaх подготовки к ЕГЭ. Формулу Пикa можно применять при вычислении площади фигуры, изобрaжённой на клетчaтой бумаге (это зaдaние предложенно в контрольно-измерительных мaтериaлaх ЕГЭ).

Ход урока

"Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным"

(Б. Паскаль)

Учитель: Есть задачи, которые необыкновенные и не похожи на задачи из школьных учебников? Да, это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же зaключaется особенность тaких задач, кaкие методы и приёмы используются для решения зaдaч нa клетчатой бумaге? Нa этом зaнятии мы исследуем зaдaчи нa клетчaтой бумaге, связaнные с нaхождением площади изображённой фигуры, и научимся вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Учитель: Объектом исследовaния будут задачи на клетчатой бумаге.

Предметом нашего исследования будут задачи нa вычиcление площади многоугольников на клетчатой бумаге.

И целью исcледования будет формула Пика.

В - количеcтво целочисленных точек внутри многоугольника

Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника

Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Кто же такой Пик? Пик Георг Алекcандров (1859-1943 гг.) - австрийский математик. Открыл формулу в 1899 году.

Учитель: Сформулируем гипотезу: площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно проcтые сведения, которые нам известны:

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения cторон, образующих прямой угол.

Учитель: Узлы cетки - точки, в которых пересекаются линии сетки.

Внутренние узлы многоугольника - синие. Узлы на границах многоугольника - коричневые.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги.

Учитель: Проведём исследования для треугольника. Сначала посчитаем площадь треугольника по формуле Пика.

В + Г /2 − 1 , где В Г — количество целочиcленных точек на границе многоугольника.

В = 34 , Г = 15 ,

В + Г /2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Ответ: 40, 5

Учитель : Теперь посчитаем площадь треугольника по формулам геометрии. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как cумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Учащиеся выполняют вычисления в тетрадях. Затем проверяют свои результаты с вычислениями на доске.

Учитель: Сравнив результаты исследований, сделайте вывод. Получили, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Итак, гипотеза оказалась верной.

Далее учитель предлагает вычислить площадь «своего» произвольного многоугольника по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнить полученные результаты. «Поиграть» с формулой Пика можно на сайте математических этюдов.

В заключение статьи предлагается одна из работ по теме «Вычисление площади произвольного многоугольника с помощью формулы Пика» .

Еще п ример:

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 , где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 10 , Г = 6 ,

В + Г /2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ОТВЕТ: 12

Учитель : Предлагаю вашему вниманию еще решить следующие задачи:

Ответ: 12

Ответ: 13

Ответ: 9

Ответ: 11,5

Ответ: 4

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вычисление площади фигуры.

Метод Пика

Работа обучающейся 5Б класса МБОУ СОШ №23 г. Иркутска

Балсуковой Александры

Руководитель: Ходырева Т.Г.

2014г.

Вычисление площади фигуры. Метод Пика

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ информации.

Цель исследования:

выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

(Г. Галилей)

Актуальность темы

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встает вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике. К таким задачам можно отнести задачи на клетчатой бумаге. В чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. На уроке математики учитель познакомила нас с интересным методом вычисления многоугольников. Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

И еще я узнала, что такие задачи рассматриваются в контрольно – измерительных материалах ГИА и ЕГЭ. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач.

2.Понятие площади

Площадь - численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось . Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой .

Площадь плоской фигуры с точки зрения геометрии

1. Площадь -мера плоской фигуры по отношению к стандартной фигуре, являющейся квадратом со стороной, равной единице длины.

2. Площадь - численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (например, многоугольникам). Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимаемая равной единице площади

3. Площадь - положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

 Равные фигуры имеют равные площади;

 Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами (т.е. те, которые можно разбить на конечное число плоских треугольников), то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

 Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь не является конкретной величиной, а только дает некоторую условную характеристику какой-либо плоской фигуры. Чтобы найти площадь произвольной фигуры, то необходимо определить, сколько квадратов со стороной, равной единице длины, она в себя вмещает. Например, возьмем прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равняется 6 см 2 .

Выбор площади квадрата со стороной, равной единице измерения, в качестве минимальной единицы измерения всех площадей не случаен. Это результат договоренности между людьми, возникший в ходе «естественного» многовекового отбора. Кроме того, были и другие предложения о единице измерения. Так, например, за такую единицу предлагалось взять площадь равностороннего треугольника (т.е. любую плоскую фигуру можно было представить в виде «суммы» некоего числа равносторонних треугольников), что привело бы к изменению численного представления площадей.

Таким образом, формулы для вычисления площадей появились в математике и осознались человеком не сразу-это многих ученых, проживающих в разные эпохи и разных странах. (Ошибочные формулы не находили место в науке и уходили в небытие). Истинные же формулы дополнялись, исправлялись и обосновывались на протяжений тысячелетий, пока не дошли до нас в их современном обличии.

Само же измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число- численное значение площади данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь-это искусственная величина, исторически введенная человеком для измерения некоторого свойства плоской фигуры. Необходимость ввода такой величины обуславливалась возрастающими потребностями в знании того, насколько большая та или иная территория, сколько надо зерна, чтобы засеять поле или вычислить площадь поверхности пола для украшения орнаментной плитки.

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки многоугольника хоть одну общую точку.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема . Пусть - число целочисленных точек внутри многоугольника, - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Пример. Для многоугольника на рисунке L = 7 (красные точки), 9 (зеленые точки), поэтому S = 7+ 9/2 -1 = 10,5 квадратных единиц.

Теорема Пика - классический результат и .

Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт.

3. История

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Александром (1859-1942) в г.. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в . В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1884 году Пик уехал в к . Там он познакомился с другим учеником Клейна, . Позже, в 1885 году, он вернулся в , где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Георг Пик дружил с Эйнштейном. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им более 50 научных работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

4.Приложения формулы Пика

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня.

Некоторые примеры использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каж-

дом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное

поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые

проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может

ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ло-

маной, равна 64/2 − 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64

полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким

образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они

ограничивают многоугольники равных площадей.

Задачи из контрольно – измерительных материалов ГИА и ЕГЭ

Задание B3

Найдите площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4.Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

5. Используемая литература:

1.В а с и л ь е в Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. - 1974. - № 12

2.К о к с е П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии. - М.: МЦНМО, 2006.т е р Г. С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966

3.Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения. – М.:Изд. «Открытый мир», 2005.

Интернет – ресурсы :

Отзыв на работу

«Вычисление площадей плоских фигур. Метод Пика»

Рассмотрение данной темы позволит повысить познавательную активность обучающегося, который впоследствии на уроках геометрии начнет видеть гармонию чертежа и перестанет воспринимать геометрию (да и математику в целом) как скучную науку.

Отзыв составила учитель математики

Ходырева Татьяна Георгиевна

Старкова Кристина, ученица 8Б класса

В работе рассмотрена теорема Пика и ее доказательство.

Рассмотрены задачи на нахождение площади многоугольников

Скачать:

Предварительный просмотр:

УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Применение формулы Пика

Учащаяся 8 «Б» класса

МАОУ СОШ №11Чайковский

Руководитель:Батуева Л,Н.,

Учитель математики МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год

I. Введение……………………………………………………. 2

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы………………………………………… .4

2.2.Триангуляция многоугольника………………………5

2.3. Доказательство теоремы Пика………………………6

2.4 Исследование площадей многоугольников…………9

2.5. Вывод…………………………………………………..12

III.Геометрические задачи с практическим содержанием…13

IV. Заключение………………………………………………..14

V. Список используемой литературы………………………..16

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Мы определили:

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
Проанализировать и систематизировать полученную информацию
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

Гипотеза :. Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.

Внутренние узлы многоугольника - красные.

Узлы на гранях многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

2.2.Триангуляция многоугольника

Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К ).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2 . а) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n -угольника).

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный - любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница - связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

2.3. Доказательство теоремы Пика.

Пусть В - число целочисленных точек внутри многоугольника, Г - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика : S=В+Г2-1

Пример. Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7, (синие точки, не забудем о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и .

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае,В=(а-1)(b-1) , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая В=а-1)b-1 , 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 и получаем, что 4)Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим B=MT=BM+BT+c-2 - число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 - число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем: BM+BT+c-2 , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+ ГМ2 -1)+В(T)+ ГT2 -1)=(В(М)+ В(T))+( ГМ2+ГT2)-2 =Г(MT)-(c-2)+ B(MT)+2(c-2)+22 -2= Г(MT)+ B(MT)2-1 .Тем самым, формула Пика доказана.

2.4 Исследование площадей многоугольников.

2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

треугольник.Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S=12ah

Sтр.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1

Sтр.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5

Sтр.ABC=Sтр.BDC-Sтр.ABD=

1,5-1=0,5

S= В+Г2-1

Г=3 ;В=0.

S=0+3/2-1=0,5

3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех- угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S=a∙b

Sкв.KMNE=7 ∙ 7=49

Sтр.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

Sтр.AKB=Sтр.DCE=8

Sтр.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5

Sтр.AND=Sтр.BMC=4,5

Sпр.= Sкв.KMNE- Sтр.AKB- Sтр.DCE- Sтр.AND- Sтр.BMC=49-8-8-4,5-4,5=24

S= В+Г2-1

Г=14;В=19.

S=18+14/2-1=24

4)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
Рисунок	По формуле геометрии	По формуле Пика
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙1= 3,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 7 ∙ 2=7 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 5 ∙ 1=2,5 S5=a²=1²=1 Sкв.= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2,5-1=32см²	S= В+Г2-1 Г=5;В=31. S=31+ 42 -1=32см²
5)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
	S= a ∙b a=36+36=62 b=9+9=32 S= 62∙32 =36 см 2	S= В+Г2-1 Г=18, В=28 S=28+ 182 -1=36см 2
6)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 см²	S= В+Г2-1 Г=18;В=28. S=28+ 182 -1=36см²
7)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S2= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 S3= 12a∙ b=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 S4= 12a∙ b=1/2 ∙ 6 ∙ 6=18 Sкв.=9²=81см² S=81-4,5-18-4,5-18=36см²	S= В+Г2-1 Г=18;В=28. S=28+ 182 -1=36см²

8)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

По формуле Пика

S1= 12a∙ b=1/2 ∙ 2 ∙ 4=4

S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8

S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8

S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2

Sпр.= a∙ b=6 ∙ 8=48

S5=48-4-8-8-2=24 см²

S= Г+В2-1

Г=16;В=17.

S=17+ 162 -1=24 см²

Вывод

Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика,я пришла к выводу,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Итак, моя гипотеза оказалась верной

III.Геометрические задачи с практическим содержанием.

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 9 . Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение.

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 10 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу, научилась работать в программе Notebook. Узнала, что

Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные н задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия.7-9 классы.М. Просвещение,2010